수열의 합 빈칸 추론

$n = 1$일 때, $\displaystyle \frac{a _{1}}{b _{1} + 1} = 2$에서 $\displaystyle b _{1} = \frac{1}{2}$이다. $2$ 이상의 모든 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle \frac{a _{n}}{b _{n} + 1}$$\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{n} \frac{a _{k}}{b _{k} + 1} - \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \frac{a _{k}}{b _{k} + 1}$이므로 $= \left( n ^{2} + n \right) - \left\{ \left( n - 1 \right) ^{2} + \left( n - 1 \right) \right\}$ $\displaystyle \frac{a _{n}}{b _{n} + 1} = \square {2} \times n$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 이다. $n = 1$일 때도 ㉠이 성립하므로 모든 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle \frac{a _{n}}{n} = \square {2} \times \left( b _{n} + 1 \right)$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 이다. $n = 2$일 때, $\displaystyle \frac{a _{2}}{2} = 2 \times \left( b _{2} + 1 \right)$에서 $\displaystyle b _{2} = \frac{3}{2}$이다. 그러므로 등비수열 $\left\{ b _{n} \right\}$의 공비는 $\square {3}$이다. 따라서 ㉡에 의하여 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{5} \frac{a _{n}}{n}$$\displaystyle = 2 \times \sum\limits _{n = 1} ^{5} \left( b _{n} + 1 \right) = 2 \times \left( \sum\limits _{n = 1} ^{5} b _{n} + \sum\limits _{n = 1} ^{5} 1 \right)$ $\displaystyle = 2 \times \left\{ \frac{\frac{1}{2} \left( 3 ^{5} - 1 \right)}{3 - 1} + 5 \right\} = 2 \times \left( \frac{121}{2} + 5 \right) = \square {131}$ 이다. $p = 2$, $q = 3$, $r = 131$이므로 $p + q + r = 136$