대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

수열 일반항 빈칸 추론

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 a1=12a _{1} = 12이고, an+1n=2ann+1+2n+1n+1\displaystyle \frac{a _{n + 1}}{n} = \frac{2 a _{n}}{n + 1} + \frac{2 ^{n + 1}}{n + 1} (n≥1)\left( n \geq 1 \right) 을 만족시킨다. 다음은 일반항 ana _{n}을 구하는 과정이다.

주어진 식에 의하여 (n+1)an+1=2nan+n⋅2n+1\left( n + 1 \right) a _{n + 1} = 2 na _{n} + n \cdot 2 ^{n + 1} 이다. bn=n2nan\displaystyle b _{n} = \frac{n}{2 ^{n}} a _{n}이라 하면 bn+1=bn+□(가)(n≥1)b _{n + 1} = b _{n} + {\square {( \text{가} )}} \left( n \geq 1 \right) 이고 b1=□(나)b _{1} = {\square {( \text{나} )}}이므로 bn=□(다)(n≥1)b _{n} = {\square {( \text{다} )}} \left( n \geq 1 \right) 이다. 그러므로 an=2nn×□(다)(n≥1)\displaystyle a _{n} = \frac{2 ^{n}}{n} \times {\square {( \text{다} )}} \left( n \geq 1 \right) 이다.

위의 (가), (다)에 알맞은 식을 각각 f(n)f \left( n \right), g(n)g \left( n \right)이라 하고, (나)에 알맞은 수를 pp라 할 때, f(p)+g(p)f \left( p \right) + g \left( p \right)의 값은? [4점] ①1515②1818③2121④2424⑤2727

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⑤

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해설

[출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 추론하기

주어진 식에 의하여 (n+1)an+1=2nan+n⋅2n+1( n + 1 ) a _{n + 1} = 2 na _{n} + n \cdot 2 ^{n + 1} 이다. bn=n2nan\displaystyle b _{n} = \frac{n}{2 ^{n}} a _{n}이라 하면 bn+1=bn+□n(n≥1)b _{n + 1} = b _{n} + {\square {n}} \left( n \geq 1 \right) 이고 b1=□6b _{1} = {\square {6}}이므로 bn=□n2−n+122(n≥1)\displaystyle b _{n} = {\square {\frac{n ^{2} - n + 12}{2}}} \left( n \geq 1 \right) 이다. 그러므로 an=2nn×□n2−n+122(n≥1)\displaystyle a _{n} = \frac{2 ^{n}}{n} \times {\square {\frac{n ^{2} - n + 12}{2}}} \left( n \geq 1 \right) 이다.

f(n)=nf \left( n \right) = n, p=6p = 6, g(n)=bn=6+∑k=1n−1k\displaystyle g \left( n \right) = b _{n} = 6 + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} k (n≥2)\left( n \geq 2 \right) g(n)=6+n(n−1)2=n2−n+122\displaystyle g ( n ) = 6 + \frac{n ( n - 1 )}{2} = \frac{n ^{2} - n + 12}{2} 따라서 f(p)+g(p)=f(6)+g(6)=6+21=27f \left( p \right) + g \left( p \right) = f \left( 6 \right) + g \left( 6 \right) = 6 + 21 = 27

태그

#빈칸 추론#점화식

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