대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

수열 일반항 빈칸 추론

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 a1=1a _{1} = 1이고, an+1=(n2−1n2)2an+2n+1n4\displaystyle a _{n + 1} = \left( \frac{n ^{2} - 1}{n ^{2}} \right) ^{2} a _{n} + \frac{2 n + 1}{n ^{4}} (n≥1)\left( n \geq 1 \right) 을 만족시킨다. 다음은 일반항 ana _{n}을 구하는 과정이다.

주어진 식의 양변에 (nn+1)2\displaystyle \left( \frac{n}{n + 1} \right) ^{2}을 곱하면 (nn+1)2an+1=(n−1n)2an+□(가)\displaystyle \left( \frac{n}{n + 1} \right) ^{2} a _{n + 1} = \left( \frac{n - 1}{n} \right) ^{2} a _{n} + {\square {( \text{가} ) _{} ^{{} ^{}}}} 이다. bn=(n−1n)2an\displaystyle b _{n} = \left( \frac{n - 1}{n} \right) ^{2} a _{n}이라 하면, b1=0b _{1} = 0이고 bn+1=bn+1n2−□(나)\displaystyle b _{n + 1} = b _{n} + \frac{1}{n ^{2}} - {\square {( \text{나} ) _{} ^{{} ^{}}}} ^{} (n≥1)\left( n \geq 1 \right) 이다. 수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}의 일반항을 구하면 bn=□(다)b _{n} = {\square {( \text{다} ) _{} ^{{} ^{}}}} (n≥1)\left( n \geq 1 \right) 이다. 그러므로 an={1(n=1)□(다)×(nn−1)2(n≥2)\displaystyle a _{n} = {\begin{cases} 1 _{{} _{}} & \left( n = 1 \right) \\ {\square {( \text{다} ) _{} ^{{} ^{}}}} \times \left( \frac{n}{n - 1} \right) ^{2} & \left( n \geq 2 \right) \end{cases}} 이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 f(n)f \left( n \right), g(n)g \left( n \right), h(n)h \left( n \right)이라 할 때, f(1)×h(4)g(7)\displaystyle \frac{f \left( 1 \right) \times h \left( 4 \right)}{g \left( 7 \right) ^{}}의 값은? [4점] ①3939②4242③4545④4848⑤5151

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③

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해설

[출제의도] 수열의 귀납적 정의를 활용하여 추론하기 주어진 식의 양변에 (nn+1)2\displaystyle \left( \frac{n}{n + 1} \right) ^{2}을 곱하면 2n+1n4×(nn+1)2=2n+1n2(n+1)2\displaystyle \frac{2 n + 1}{n ^{4}} \times \left( \frac{n}{n + 1} \right) ^{2} = \frac{2 n + 1}{n ^{2} \left( n + 1 \right) ^{2}}이므로 (nn+1)2an+1=(n−1n)2an+□2n+1n2(n+1)2\displaystyle \left( \frac{n}{n + 1} \right) ^{2} a _{n + 1} = \left( \frac{n - 1}{n} \right) ^{2} a _{n} + {\square {\frac{2 n + 1}{n ^{2} \left( n + 1 \right) ^{2}}}} 이다. bn=(n−1n)2an\displaystyle b _{n} = \left( \frac{n - 1}{n} \right) ^{2} a _{n}이라 하면, b1=0b _{1} = 0이고 2n+1n2(n+1)2=2n+1(n+1)2−n2{1n2−1(n+1)2}\displaystyle \frac{2 n + 1}{n ^{2} \left( n + 1 \right) ^{2}} = \frac{2 n + 1}{\left( n + 1 \right) ^{2} - n ^{2}} \left\{ \frac{1}{n ^{2}} - \frac{1}{\left( n + 1 \right) ^{2}} \right\} =1n2−1(n+1)2\displaystyle = \frac{1}{n ^{2}} - \frac{1}{\left( n + 1 \right) ^{2}}이므로 bn+1=bn+1n2−□1(n+1)2\displaystyle b _{n + 1} = b _{n} + \frac{1}{n ^{2}} - {\square {\frac{1}{{\left( n + 1 \right) ^{2}} ^{}}}} (n≥1)\left( n \geq 1 \right) 이다. 수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}의 일반항을 구하면 bn=b1+∑k=1n−1{1k2−1(k+1)2}\displaystyle b _{n} = b _{1} + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \left\{ \frac{1}{k ^{2}} - \frac{1}{\left( k + 1 \right) ^{2}} \right\} =0+(112−122)+(122−132)+⋯\displaystyle = 0 + \left( \frac{1}{1 ^{2}} - \frac{1}{2 ^{2}} \right) + \left( \frac{1}{2 ^{2}} - \frac{1}{3 ^{2}} \right) + \cdots+{1(n−1)2−1n2}\displaystyle + \left\{ \frac{1}{\left( n - 1 \right) ^{2}} - \frac{1}{n ^{2}} \right\} =1−1n2\displaystyle = 1 - \frac{1}{n ^{2}} (n≥2)\left( n \geq 2 \right)이고, b1=0b _{1} = 0이므로 bn=□n2−1n2\displaystyle b _{n} = {\square {\frac{n ^{2} - 1}{n ^{2}}}} (n≥1)\left( n \geq 1 \right) 이다. 그러므로 an={1(n=1)□n2−1n2×(nn−1)2(n≥2)\displaystyle a _{n} = {\begin{cases} 1 _{{} _{}} & \left( n = 1 \right) \\ {\square {\frac{n ^{2} - 1}{n ^{2}}}} \times \left( \frac{n}{n - 1} \right) ^{2} & \left( n \geq 2 \right) \end{cases}} 이다. ∴\therefore f(n)=2n+1n2(n+1)2\displaystyle f \left( n \right) = \frac{2 n + 1}{n ^{2} \left( n + 1 \right) ^{2}}, g(n)=1(n+1)2\displaystyle g \left( n \right) = \frac{1}{\left( n + 1 \right) ^{2}}, h(n)=n2−1n2\displaystyle h \left( n \right) = \frac{n ^{2} - 1}{n ^{2}} 따라서 f(1)×h(4)g(7)=34×1516164=45\displaystyle \frac{f ( 1 ) \times h ( 4 )}{g ( 7 )} = \frac{\frac{3}{4} \times \frac{15}{16}}{\frac{1}{64}} = 45

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#빈칸 추론#점화식

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