대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

수열 합 빈칸

문제

수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 은 $a _{1} = 2$ 이고, $\displaystyle S _{n} = \sum\limits _{k=1} ^{n} a _{k}$ 라 할 때, $\displaystyle a _{n+1} = \frac{S _{n}}{a _{n}} ( n \geq 1 )$ 을 만족시킨다. 다음은 $S _{n}$ 을 구하는 과정이다.

주어진 식으로부터 $\displaystyle a _{2} = \frac{S _{1}}{a _{1}} = 1$ 이다. $n \geq 3$ 일 때, $\displaystyle a _{n} = \frac{S _{n-1}}{a _{n-1}} = \frac{S _{n-2} + a _{n-1}}{a _{n-1}} = \frac{a _{n-2} a _{n-1} + a _{n-1}}{a _{n-1}}$ 이므로 $a _{n} = a _{n-2} + 1$ 이다. 따라서 일반항 $a _{n}$ 을 구하면, 자연수 $k$ 에 대하여 $n = 2 k - 1$ 일 때, $a _{2k-1} = k + 1$ $n = 2 k$ 일 때, $a _{2k} = \square {( \text{가} )}$ 이다. 한편, $S _{n} = a _{n} a _{n+1}$ 이므로 $\displaystyle S _{n} = \begin{cases} & ( k + 1 ) \times \square {( \text{가} )} & ( n = 2 k - 1 ) \\ & \square {( \text{나} )} & ( n = 2 k ) \end{cases}$ 이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f ( k )$ , $g ( k )$ 라 할 때, $f ( 6 ) + g ( 7 )$ 의 값은? [4점] ① $65$ ② $67$ ③ $69$ ④ $71$ ⑤ $73$

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③

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해설

$a _{n} = a _{n - 2} + 1$ 에서 (a) $n = 2 k - 1$ 일 때 $a _{2 k - 1} = a _{2 k - 3} + 1 ( k \geq 2 )$ 수열 $\left\{ a _{2 k - 1} \right\}$ 은 첫째항이 $a _{1} = 2$ 이고 공차가 1인 등차수열이므로 $a _{2 k - 1} = 2 + ( k - 1 ) \bullet 1 = k + 1 ( k \geq 1 )$ (b) $n = 2 k$ 일 때 $a _{2 k} = a _{2 k - 2} + 1 ( k \geq 2 )$ 수열 $\left\{ a _{2 k} \right\}$ 은 첫째항이 $a _{2} = 1$ 이고 공차가 1인 등차수열이므로 $a _{2 k} = 1 + ( k - 1 ) \bullet 1 = \square {k} ( k \geq 1 )$ $S _{n} = a _{n} a _{n + 1}$ 이므로 $\displaystyle S _{n} = {\begin{cases} a _{2 k - 1} a _{2 k} & = ( k + 1 ) \times \square {k} ( n = 2 k - 1 ) \\ a _{2 k} a _{2 k + 1} & = \square {k ( k + 2 )} ( n = 2 k ) \end{cases}}$ 따라서 $f ( k ) = k$ , $g ( k ) = k ( k + 2 )$ $\therefore$ $f ( 6 ) + g ( 7 ) = 6 + 63 = 69$

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