수열 극한으로 정의된 함수

$x$의 범위에 따라 $f ( x )$를 나눠주면 $\displaystyle f ( x ) = {\begin{cases} 2 x & | x | > 1 \\ x ^{2} + 1 & | x | < 1 \\ 2 & x = 1 \\ 0 & x = - 1 \end{cases}}$ 와 같이 정의된다. ㄱ. $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow -1+0{f ( x )}=2} , \lim\limits _{x\rightarrow -1-0} {f ( x )} = - 2$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow -1{f ( x )}}$가 존재하지 않는다. ㄴ. 함수 $f ( x )$는 $| x | < 1$인 구간에서 연속이며, $x = 0$에서 감소→증가 로 바뀐다. ㄷ. $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 1+0{\frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1} = \lim\limits _{x\rightarrow 1+0{\frac{x ^{2} + 1 - 2}{x - 1} = \lim\limits _{x\rightarrow 1+0{\frac{x ^{2} - 1}{x - 1}}}}}}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x\rightarrow 1+0{( x + 1 )}=2}$ $\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 1-0{\frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1} = \lim\limits _{x\rightarrow 1-0{\frac{2 x - 2}{x - 1} = \lim\limits _{x\rightarrow 1-0{\frac{2 ( x - 1 )}{x - 1}}}}}}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x\rightarrow 1-0{2}=2}$ $x = 1$에서 좌미분계수와 우미분계수가 같으므로 $f ( x )$는 $x = 1$에서 미분가능하다.