수열 부등식 증명

모든 항이 양수인 두 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$, $\left\{ b _{n} \right\}$이 $\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{n} a _{k} = \sum\limits _{k=1} ^{n} b _{k}$ 를 만족할 때, 다음은 모든 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{n} {\frac{a _{k} ^{2}}{a _{k} + b _{k}} \geq \square {( \text{다} )} \sum\limits _{k=1} ^{n} a _{k}}$ 이 성립함을 증명한 것이다. [증명] 절대부등식 $( x + y ) ^{2} \geq 4 xy$를 이용하면 $\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{n} \frac{a _{k} b _{k}}{a _{k} + b _{k}} \leq \sum\limits _{k=1} ^{n} \square {( \text{가} )} = \frac{1}{2} \sum\limits _{k=1} ^{n} a _{k}$ 이 성립한다. $\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{n} \frac{a _{k} ^{2}}{a _{k} + b _{k}} = \sum\limits _{k=1} ^{n} \square {( \text{나} )} - \sum\limits _{k=1} ^{n} \frac{a _{k} b _{k}}{a _{k} + b _{k}}$$\displaystyle \geq \square {( \text{다} )} \sum\limits _{k=1} ^{n} a _{k}$ 따라서, 모든 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle \sum\limits _{k=1} ^{n} \frac{a _{k} ^{2}}{a _{k} + b _{k}} \geq \square {( \text{다} )} \sum\limits _{k=1} ^{n} a _{k}$이 성립한다. (단, 등호는 $a _{k} = b _{k}$ ($k = 1 , 2 , \cdots , n$)일 때 성립한다.)

위 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점] ①$\displaystyle \frac{1}{4} ( a _{k} + b _{k} ) , a _{k} , \frac{1}{2}$②$\displaystyle \frac{1}{2} ( a _{k} + b _{k} ) , a _{k} , \frac{1}{2}$③$\displaystyle \frac{1}{4} ( a _{k} + b _{k} ) , a _{k} , \frac{1}{4}$④$\displaystyle \frac{1}{2} ( a _{k} + b _{k} ) , a _{k} ^{2} , \frac{1}{4}$⑤$\displaystyle \frac{1}{4} ( a _{k} + b _{k} ) , a _{k} ^{2} , \frac{1}{4}$