대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

수열 빈칸 추론

문제

모든 항이 양수인 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 a1=14\displaystyle a _{1} = \frac{1}{4}이고 (n+1)an=an+1(3n−2an)\left( n + 1 \right) a _{n} = a _{n + 1} \left( 3 n - 2 a _{n} \right) (n≥1)( n \geq 1 ) 을 만족시킨다. 다음은 일반항 ana _{n}을 구하는 과정이다.

주어진 식의 양변을 anan+1a _{n} a _{n + 1}로 나누면 n+1an+1=3n−2anan\displaystyle \frac{n + 1}{a _{n + 1}} = \frac{3 n - 2 a _{n}}{a _{n}} 이다. bn=nan\displaystyle b _{n} = \frac{n}{a _{n}}이라 하면 bn+1=3bn+□(가)b _{n + 1} = 3 b _{n} + \square {( \text{가} )} 이고, bn+1−1=3(bn−1)b _{n + 1} - 1 = 3 \left( b _{n} - 1 \right)이다. b1=4b _{1} = 4이므로 bn−1=□(나)b _{n} - 1 = \square {( \text{나} )} bn=□(나)+1b _{n} = \square {( \text{나} )} + 1 이다. 그러므로 an=n□(나)+1\displaystyle a _{n} = \frac{n}{\square {( \text{나} )} + 1} (n≥1n \geq 1) 이다.

위의 (가)에 알맞은 값을 pp, (나)에 알맞은 식을 f(n)f \left( n \right)이라 할 때, p+f(3)p + f ( 3 )의 값은? [4점] ①2424②2525③2626④2727⑤2828

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②

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해설

[출제의도] 수열의 귀납적 정의를 활용하여 추론하기

주어진 식의 양변을 anan+1a _{n} a _{n + 1}로 나누면 n+1an+1=3n−2anan\displaystyle \frac{n + 1}{a _{n + 1}} = \frac{3 n - 2 a _{n}}{a _{n}} 이다. bn=nan\displaystyle b _{n} = \frac{n}{a _{n}}이라 하면 bn+1=3bn+□(−2)b _{n + 1} = 3 b _{n} + {\square {\left( - 2 \right)}} 이고, bn+1−1=3(bn−1)b _{n + 1} - 1 = 3 ( b _{n} - 1 )이다. b1=4b _{1} = 4이므로 수열 {bn−1}\left\{ b _{n} - 1 \right\}은 첫째항이 33이고 공비가 33인 등비수열이다. bn−1=□3nb _{n} - 1 = {\square {3 ^{n}}} bn=□3n+1b _{n} = {\square {3 ^{n}}} + 1 이다. 그러므로 an=n□3n+1\displaystyle a _{n} = \frac{n}{{\square {3 ^{n}}} + 1} (n≥1n \geq 1) 이다.

p=−2,f(n)=3np = - 2 , f ( n ) = 3 ^{n} 따라서 −2+f(3)=25- 2 + f ( 3 ) = 25

태그

#점화식#등비수열

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