수열 빈칸 추론

식 (＊)의 양변에 $S _{n}$을 더하여 정리하면 $S _{n + 1} + 1 = 2 ^{n} ( S _{n} + 1 )$ 이다. $b _{n} = \log _{2} ( S _{n} + 1 )$이라 하면 $b _{1} = 1$이고 $b _{n + 1} = \square {( \text{가} ) n} + b _{n}$ 이다. 수열의 $\left\{ b _{n} \right\}$의 일반항을 구하면 $\displaystyle b _{n} = \frac{n ^{2} - n + 2}{2} ( n \geq 1 )$ 이므로 $\displaystyle S _{n} = 2 ^{\frac{n ^{2} - n + 2}{2}} - 1 ( n \geq 1 )$ 이다. 그러므로 $a _{1} = 1$이고 , $n \geq 2$일 때 $a _{n} = S _{n} - S _{n - 1}$ $\displaystyle \begin{aligned} = 2 ^{\frac{n ^{2} - n + 2}{2}} - 2 ^{\square {( \text{나} ) \frac{n ^{2} - 3 n + 4}{2}}} \\ \end{aligned}$ $\displaystyle = 2 ^{\square {( \text{나} ) \frac{n ^{2} - 3 n + 4}{2}}} \times ( 2 ^{n - 1} - 1 )$ $\therefore f ( 12 ) - g ( 5 ) = 12 - 7 = 5$