대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

수열 빈칸 추론

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 Sn=∑k=1nak\displaystyle S _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k}라 할 때, 2Sn=3an−4n+32 S _{n} = 3 a _{n} - 4 n + 3 (n≥1n \geq 1) 을 만족시킨다. 다음은 일반항 ana _{n}을 구하는 과정이다.

2Sn=3an−4n+32 S _{n} = 3 a _{n} - 4 n + 3 ⋯⋯㉠\cdots \cdots \text{㉠} 에서 n=1n = 1일 때, 2S1=3a1−12 S _{1} = 3 a _{1} - 1이므로 a1=1a _{1} = 1이다. 2Sn+1=3an+1−4(n+1)+32 S _{n + 1} = 3 a _{n + 1} - 4 ( n + 1 ) + 3 ⋯⋯㉡\cdots \cdots \text{㉡} ㉡\text{㉡}에서 ㉠\text{㉠}을 뺀 식으로부터 an+1=3an+a _{n + 1} = 3 a _{n} +□(가){\square {( \text{가} ) _{{} _{}} ^{{} ^{{} ^{}}}}} 이다. 수열 {an+2}\left\{ a _{n} + 2 \right\}가 등비수열이므로 일반항 ana _{n}을 구하면 an=a _{n} =□(나){\square {( \text{나} ) _{{} _{}} ^{{} ^{{} ^{}}}}} (n≥1n \geq 1) 이다.

위의 (가)에 알맞은 수를 pp, (나)에 알맞은 식을 f(n)f ( n )이라 할 때, p+f(5)p + f ( 5 )의 값은? [4점] ①225225②230230③235235④240240⑤245245

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⑤

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해설

[출제의도] 수열의 귀납적 정의를 활용하여 추론하기 2Sn=3an−4n+32 S _{n} = 3 a _{n} - 4 n + 3 ⋯⋯㉠\cdots \cdots \text{㉠} 에서 n=1n = 1일 때, 2S1=3a1−12 S _{1} = 3 a _{1} - 1이므로 a1=1a _{1} = 1 2Sn+1=3an+1−4(n+1)+32 S _{n + 1} = 3 a _{n + 1} - 4 ( n + 1 ) + 3 ⋯⋯㉡\cdots \cdots \text{㉡} ㉡−㉠\text{㉡} - \text{㉠}을 하면 2(Sn+1−Sn)=3an+1−3an−42 \left( S _{n + 1} - S _{n} \right) = 3 a _{n + 1} - 3 a _{n} - 4 2an+1=3an+1−3an−42 a _{n + 1} = 3 a _{n + 1} - 3 a _{n} - 4 an+1=3an+□4a _{n + 1} = 3 a _{n} + {\square {4}} an+1+2=3(an+2)a _{n + 1} + 2 = 3 \left( a _{n} + 2 \right) 이다. 수열 {an+2}\left\{ a _{n} + 2 \right\}는 첫째항이 a1+2a _{1} + 2, 공비가 33인 등비수열이므로 an+2=(a1+2)×3n−1a _{n} + 2 = \left( a _{1} + 2 \right) \times 3 ^{n - 1} 일반항 ana _{n}을 구하면 an=3×3n−1−2=□3n−2a _{n} = 3 \times 3 ^{n - 1} - 2 = {\square {3 ^{n} - 2}} (n≥1n \geq 1) 이다. ∴\therefore p=4p = 4, f(n)=3n−2f ( n ) = 3 ^{n} - 2 따라서 p+f(5)=4+(35−2)=245p + f ( 5 ) = 4 + \left( 3 ^{5} - 2 \right) = 245

태그

#점화식#등비수열

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