수열 빈칸 추론

[출제의도] 계차수열의 성질을 이용하여 일반항을 구할 수 있음을 증명한다. $b _{n} = a _{n + 1} - a _{n}$이라 하면 $b _{1} = b _{2} = 1$이고 $b _{n + 2} = b _{n} + 1$ ($n \geq 1$)이다. 따라서 수열 $\left\{ b _{2 n - 1} \right\}$, $\left\{ b _{2 n} \right\}$은 모두 첫째항이 $1$이고, 공차가 $1$인 등차수열이다. 즉, $b _{2 n - 1} = b _{2 n} = n$ ($n \geq 1$) 이다. 그러므로 $n \geq 2$일 때 $a _{n}$은 다음과 같다. ⅰ) $n$이 홀수일 때, $n = 2 m - 1$이라 하면 $\displaystyle a _{2 m - 1} = a _{1} + \sum\limits _{k = 1} ^{2 m - 2} b _{k}$ $\displaystyle = a _{1} + \sum\limits _{k = 1} ^{m - 1} ( b _{2 k - 1} + b _{2 k} )$ $\displaystyle = 0 + \sum\limits _{k = 1} ^{m - 1} k + \sum\limits _{k = 1} ^{m - 1} k$ $\displaystyle = 2 \times \frac{( m - 1 ) m}{2}$ = $m ^{2} - m$ ⅱ) $n$이 짝수일 때, $n = 2 m$이라 하면 $\displaystyle a _{2 m} = a _{1} + \sum\limits _{k = 1} ^{2 m - 1} b _{k}$ $\displaystyle = a _{1} + \sum\limits _{k = 1} ^{m - 1} ( b _{2 k - 1} + b _{2 k} ) + b _{2 m - 1}$ $\displaystyle = 0 + \sum\limits _{k = 1} ^{m - 1} 2 k + m$ $\displaystyle = 2 \times \frac{( m - 1 ) m}{2} + m$ = $m ^{2}$ 따라서 $f ( n ) = n$, $g ( m ) = m ^{2}$이다. ∴ $f ( 10 ) + g ( 10 ) = 110$