수열 빈칸 추론

수열 $\left\{ a _{n} \right\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $a _{1} = 1$, $a _{n + 1} = 2 a _{n} + n + 1$ 을 만족시킬 때, 다음은 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 일반항을 구하는 과정이다.

$n \geq 1$일 때, $a _{n + 1} = 2 a _{n} + n + 1$ $\cdots \cdots$ ㉠ $a _{n + 2} = 2 a _{n + 1} +$(가) $\cdots \cdots$ ㉡ 이고, ㉡에서 ㉠을 뺀 식으로부터 $a _{n + 2} - a _{n + 1} = 2 ( a _{n + 1} - a _{n} ) + 1$ 을 얻는다. $b _{n} = a _{n + 1} - a _{n}$이라 하면 $b _{n + 1} = 2 b _{n} + 1$ 이므로 $b _{n} = 2 ^{n + 1} - 1$ $\displaystyle a _{n} = a _{1} + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \left( 2 ^{k + 1} - 1 \right)$ ($n \geq 2$) $= 2 ^{n + 1} +$ (나)

이다.

위의 (가), (나)에 들어갈 식을 각각 $f ( n ) , g ( n )$이라 할 때, $f ( 5 ) - g ( 5 )$의 값은? [4점] ①$14$②$16$③$18$④$20$⑤$22$