대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

수열 빈칸 추론

문제

모든 항이 양수인 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 은 $a _{1} = 10$ 이고 $\displaystyle \left( a _{n+1} \right) ^{n+1} = \frac{a _{1} + ( a _{2} ) ^{2} + ( a _{3} ) ^{3} + \cdots + ( a _{n} ) ^{n}}{n} ( n \geq 1 )$ 을 만족시킨다. 다음은 일반항 $a _{n}$ 을 구하는 과정의 일부이다.



$b _{n} = ( a _{n} ) ^{n}$ 이라 하면 $b _{1} = 10$ 이고 주어진 식으로부터 $\displaystyle b _{n + 1} = \frac{b _{1} + b _{2} + \cdots + b _{n}}{n} ( n \geq 1 )$ 이다. $\displaystyle S _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} b _{k}$ 라 하면 $S _{n + 1} = \square {\text{(가)}} \times S _{n}$ 이다. $S _{1} = 10$ $\displaystyle S _{n} = S _{1} \times \frac{S _{2}}{S _{1}} \times \frac{S _{3}}{S _{2}} \times \cdots \times \frac{S _{n}}{S _{n - 1}} ( n \geq 2 )$ 를 이용하여 $S _{n}$ 을 구하면 $S _{n} = \square {\text{(나)}} ( n \geq 1 )$ 이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f ( n ) , g ( n )$ 이라 할 때, $f ( 5 ) \times g ( 6 )$ 의 값은? [4점] ① $72$ ② $76$ ③ $80$ ④ $84$ ⑤ $88$

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①

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해설

가) $\displaystyle S _{n + 1} = S _{n} + b _{n + 1} = S _{n} + \frac{S _{n}}{n} = \frac{n + 1}{n} S _{n}$ 나) $\displaystyle S _{n} = S _{1} \times \frac{S _{2}}{S _{1}} \times \frac{S _{3}}{S _{2}} \times \cdots \times \frac{S _{n}}{S _{n - 1}}$ $\displaystyle = 10 \times \frac{2}{1} \times \frac{3}{2} \times \cdots \frac{n}{n - 1} = 10 n$ $\displaystyle \therefore f ( n ) = \frac{n + 1}{n} , g ( n ) = 10 n$ $\displaystyle \therefore f ( 5 ) g ( 6 ) = \frac{6}{5} \times 60 = 72$

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