수선과 삼각형 넓이 빈칸

[출제의도] 수열의 합을 구하는 과정을 추론한다. 점 $\mathrm{A} _{\mathit{n}} \left( \mathit{n} , n ^{2} \right)$을 지나고 직선 $y$$= nx$에 수직인 직선의 기울기는 $\displaystyle - \frac{1}{n}$이므로 직선의 방정식은 $y - n ^{2}$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{1}{n} ( x - n )$, $y$$\displaystyle = \mathit{\square} {- {\frac{1}{n}}} \times x + n ^{2} + 1$ 즉, $\square {( \text{가} )}$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{1}{n}$ 점 $\mathrm{B} _{\mathit{n}}$의 좌표는 $\displaystyle - \frac{1}{n} x + n ^{2} + 1$$= 0$에서 $\left( \mathit{n} ^{3} + n , 0 \right)$ 점 $\mathrm{A} _{\mathit{n}}$의 좌표는 $\left( n , n ^{2} \right)$이므로 $S _{n}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( n ^{3} + n \right) \times n ^{2}$$\displaystyle = \square {\frac{n ^{5} + n ^{3}}{2}}$ 즉, $\square {( \text{나} )}$$\displaystyle = \frac{n ^{5} + n ^{3}}{2}$ $\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{8} \frac{S _{n}}{n ^{3}}$$\displaystyle = \sum\limits _{n=1} ^{8} \frac{n ^{5} + n ^{3}}{2 n ^{3}}$$\displaystyle = \sum\limits _{n=1} ^{8} \frac{n ^{2} + 1}{2}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \sum\limits _{n=1} ^{8} n ^{2} + \frac{1}{2} \sum\limits _{n=1} ^{8} 1$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \frac{8 \times 9 \times 17}{6} + \frac{1}{2} \times 1 \times 8$ $= 102 + 4$$= {{\square {106}}}$ 즉, $\square {( \text{다} )}$$= 106$ 따라서 $f ( n )$$\displaystyle = \mathit{-} \frac{1}{n}$, $g ( n )$$\displaystyle = \frac{n ^{5} + n ^{3}}{2}$, $r$$= 106$이므로 $f ( 1 ) + g ( 2 ) + r$$= \mathit{-} 1 + 20 + 106$$= 125$