순허수 조건 방정식

복소수 $z$를 $z = a + bi \left( a , b \right.$는 실수$)$라 하자. 조건 (가)에서 $\displaystyle {\overline{z}} = - z$이므로 $a - bi = - a - bi$에서 $a = 0$ 즉 $z = bi$이다. 조건 (나)에 $z = bi$를 대입하면 $- b ^{2} + \left( k ^{2} - 3 k - 4 \right) bi + \left( k ^{2} + 2 k - 8 \right) = 0$ $k ^{2} + 2 k - 8 - b ^{2} + \left( k ^{2} - 3 k - 4 \right) bi = 0$ 이고, $k ^{2} + 2 k - 8 - b ^{2} = 0$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $\left( k ^{2} - 3 k - 4 \right) b = 0$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 이다. ㉡에서 $b = 0$ 또는 $k ^{2} - 3 k - 4 = 0$ (ⅰ) $b = 0$일 때 ㉠에서 $k ^{2} + 2 k - 8 = 0$이므로 $k = - 4$ 또는 $k = 2$이다. (ⅱ) $k ^{2} - 3 k - 4 = 0$, 즉 $k = - 1$ 또는 $k = 4$일 때 $k = - 1$이면 ㉠에서 $- 9 - b ^{2} = 0$이므로 이를 만족시키는 실수 $b$는 존재하지 않는다. $k = 4$이면 ㉠에서 $16 - b ^{2} = 0$이므로 이를 만족시키는 실수 $b$는 $- 4$, $4$이다. (ⅰ), (ⅱ)에서 조건을 만족시키는 실수 $k$는 $- 4$, $2$, $\mathrm{4}$이고 모든 실수 $k$의 값의 곱은 $\mathrm{-} 32$이다. [다른 풀이] $f \left( x \right) = x ^{2} + \left( k ^{2} - 3 k - 4 \right) x + \left( k ^{2} + 2 k - 8 \right)$이라 하자. 조건 (나)에서 복소수 $z$는 $x$에 대한 이차방정식 $f \left( x \right) = 0$의 한 근이다. (ⅰ) $z$가 실수일 때 조건 (가)에서 $\displaystyle {\overline{z}} = - z$이고 $z$가 실수이므로 $\displaystyle {\overline{z}} = z$이다. 따라서 $z = 0$ 즉, 이차방정식 $f \left( x \right) = 0$의 한 근이 $x = 0$이므로 $f ( 0 ) = 0$ $k ^{2} + 2 k - 8 = 0$ $( k + 4 ) ( k - 2 ) = 0$ $k = - 4$ 또는 $k = 2$ (ⅱ) $z$가 허수일 때 $x$에 대한 이차방정식 $x ^{2} + \left( k ^{2} - 3 k - 4 \right) x + \left( k ^{2} + 2 k - 8 \right) = 0$ 에서 계수와 상수항이 모두 실수이므로 $z$의 켤레복소수 $\displaystyle \overline{z}$ 역시 이차방정식의 한 근이다. 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 $\displaystyle z + {\overline{z}} = - \left( k ^{2} - 3 k - 4 \right)$ 조건 (가)에서 $\displaystyle {\overline{z}} = - z$이므로 $\displaystyle z + {\overline{z}} = 0$ 즉, $k ^{2} - 3 k - 4 = 0$ $( k - 4 ) ( k + 1 ) = 0$ $k = 4$ 또는 $k = - 1$ $k = 4$이면 $f ( x ) = x ^{2} + 16$이고, 이차방정식 $f \left( x \right) = 0$의 해는 $x = 4 i$ 또는 $x = - 4 i$이다. $k = - 1$이면 $f \left( x \right) = x ^{2} - 9$이고, 이차방정식 $f \left( x \right) = 0$의 해는 $x = 3$ 또는 $x = - 3$이므로 $z$가 허수라는 조건에 모순이다. (ⅰ), (ⅱ)에서 조건을 만족시키는 실수 $k$는 $- 4$, $2$, $\mathrm{4}$이고, 모든 실수 $k$의 값의 곱은 $\mathrm{-} 32$이다.