공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

수직인 접선의 y절편

문제

[13 ~ 14] 그림과 같이 양수 $a$ 에 대하여 이차함수 $f \left( x \right) = x ^{2} - 2 ax$ 의 그래프와 직선 $\displaystyle g \left( x \right) = \frac{1}{a} x$ 가 두 점 $\mathrm{O}$ , $\mathrm{A}$ 에서 만난다. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오. (단, $\mathrm{O}$ 는 원점이다.)

$f \left( x \right) = x ^{2} - 2 ax$ $\displaystyle g \left( x \right) = \frac{1}{a} x$

$a = 2$ 일 때, 직선 $l$ 은 이차함수 $y = f \left( x \right)$ 의 그래프에 접하고 직선 $y = g \left( x \right)$ 와 수직이다. 직선 $l$ 의 $y$ 절편은? [3점] ① $- 2$ ② $\displaystyle - \frac{5}{3}$ ③ $\displaystyle - \frac{4}{3}$ ④ $- 1$ ⑤ $\displaystyle - \frac{2}{3}$

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④

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해설

[출제의도] 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계 이해하기 $a = 2$ 일 때, $\displaystyle g \left( x \right) = \frac{1}{2} x$ , $f \left( x \right) = x ^{2} - 4 x$ 직선 $l$ 의 방정식을 $y = mx + k$ 라 하자. $\displaystyle {\frac{1}{2}} \times m = - 1$ $m = - 2$ $\therefore$ $y = - 2 x + k$ 직선 $l$ 이 이차함수 $f \left( x \right) = x ^{2} - 4 x$ 의 그래프와 접하기 위해서는 방정식 $x ^{2} - 4 x = - 2 x + k$ 가 중근을 가져야 하므로 $x ^{2} - 2 x - k = 0$ 의 판별식을 $D$ 라 하면 $D = \left( - 2 \right) ^{2} - 4 \times 1 \times \left( - k \right) = 4 + 4 k = 0$ 따라서 직선 $l$ 의 $y$ 절편 $k = - 1$

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