미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

수직인 두 접선과 pq의 값

문제

좌표평면 위의 점 (a,b)( a , b )에서 곡선 y=x2y = x ^{2}에 그은 두 접선이 서로 수직이고 a2+b2≤3716\displaystyle a ^{2} + b ^{2} \leq \frac{37}{16}일 때, a+ba + b의 최댓값을 pp, 최솟값을 qq라 하자. pqpq의 값은? [4점] ①−3316\displaystyle - \frac{33}{16}②−3516\displaystyle - \frac{35}{16}③−3716\displaystyle - \frac{37}{16}④−3916\displaystyle - \frac{39}{16}⑤−4116\displaystyle - \frac{41}{16}

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②

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해설

곡선 y=x2y = x ^{2} 위의 점을 (t,t2)( t , t ^{2} )이라 하면 접선의 기울기는 y′=2xy' = 2 x에서 m=2tm = 2 t이므로 접선의 방정식은 y−t2=2t(x−t)y - t ^{2} = 2 t ( x - t ) 그런데 이 접선이 (a,b)( a , b )를 지나므로 b−t2=2t(a−t)b - t ^{2} = 2 t ( a - t ) 즉, t2−2at+b=0t ^{2} - 2 at + b = 0 이차방정식 t2−2at+b=0t ^{2} - 2 at + b = 0을 만족하는 두 근을 α\alpha, β\beta라 하면 근과 계수의 관계에서 αβ=b\alpha \beta = b 그런데, 두 접선이 서로 수직이므로 2α⋅2β=−12 \alpha \cdot 2 \beta = - 1이어야 한다. 따라서 4b=−14 b = - 1, b=−14\displaystyle b = - \frac{1}{4} 조건에서 a2+b2≤3716\displaystyle a ^{2} + b ^{2} \leq \frac{37}{16}이므로 a2+116≤3716\displaystyle a ^{2} + \frac{1}{16} \leq \frac{37}{16} 즉, a2≤94\displaystyle a ^{2} \leq \frac{9}{4}이므로 −32≤a≤32\displaystyle - \frac{3}{2} \leq a \leq \frac{3}{2} 따라서 a+ba + b의 최댓값은 a=32\displaystyle a = \frac{3}{2}일 때이고, 최솟값은 a=−32\displaystyle a = - \frac{3}{2}일 때이므로 최댓값 pp는 p=32−14=54\displaystyle p = \frac{3}{2} - \frac{1}{4} = \frac{5}{4} 최솟값 qq는 q=−32−14=−74\displaystyle q = - \frac{3}{2} - \frac{1}{4} = - \frac{7}{4} ∴\thereforepq=−3516\displaystyle pq = - \frac{35}{16}

태그

#접선#이차방정식의 근과 계수의 관계#최댓값과 최솟값

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