미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

수직이등분선 삼각형 넓이

문제

좌표평면 위에 점 A(0,2)A ( 0 , 2 )가 있다. 0<t<20 < t < 2일 때, 원점 OO와 직선 y=2y = 2 위의 점 P(t,2)P ( t , 2 )를 잇는 선분 OPOP의 수직이등분선과 yy축의 교점을 BB라 하자. 삼각형 ABPABP의 넓이를 f(t)f ( t )라 할 때, f(t)f ( t )의 최댓값은 ba3\displaystyle \frac{b}{a} \sqrt{3}이다. a+ba + b의 값을 구하시오. (단, a,a , bb는 서로소인 자연수이다.) [3점]

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해설

위의 그림에서 직선 ll의 방정식은 y=−t2(x−t2)+1\displaystyle y = - \frac{t}{2} ( x - \frac{t}{2} ) + 1 yy절편은 t24+1\displaystyle \frac{t ^{2}}{4} + 1이고 점B(0,t24+1)\displaystyle B ( 0 , \frac{t ^{2}}{4} + 1 )이다. f(t)=12(1−t24)t=12(t−t34)\displaystyle f ( t ) = \frac{1}{2} ( 1 - \frac{t ^{2}}{4} ) t = \frac{1}{2} ( t - \frac{t ^{3}}{4} ) f′(t)=12(1−3t24)=0\displaystyle f' ( t ) = \frac{1}{2} ( 1 - \frac{3 t ^{2}}{4} ) = 0에서 t=233\displaystyle t = \frac{2 \sqrt{3}}{3}에서 최댓값 f(233)=239\displaystyle f ( \frac{2 \sqrt{3}}{3} ) = \frac{2 \sqrt{3}}{9}을 갖는다. ∴ a+b=11a + b = 11

태그

#최댓값#수직이등분선

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