수직 접선 삼차함수

점 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$의 $x$좌표를 각각 $b$, $c$라 하면 직선 $m$과 곡선 $y = f ( x )$가 두 점 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$에서 만나고 $f ( x )$가 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수이므로 $f ( x ) - x = ( x - b ) ^{2} ( x - c )$ ⋯⋯ ㉠ 로 놓을 수 있다. 점 $\mathrm{B}$는 직선 $y = x$ 위의 점이므로 좌표는 $( b , b )$이다. 직선 $l$은 점 $\mathrm{B}$를 지나며 직선 $y = x$와 수직이므로 기울기가 $- 1$이다. 따라서 직선 $l$의 방정식은 $y = - x + 2 b$이다. 점 $\mathrm{A}$는 직선 $l$의 $y$절편이므로 점 $\mathrm{A}$의 좌표는 $( 0 , 2 b )$, 즉 $f ( 0 ) = 2 b$이다. 문제의 조건에서 $f ( 0 ) > 0$이므로 $b > 0$이다. ㉠의 양변에 $x = 0$을 대입하면 $f ( 0 )$$= - b ^{2} c = 2 b$ ∴ $bc = - 2$ (∵ $b > 0$) ⋯⋯ ㉡ 직선 $l$은 점 $\mathrm{A}$에서 곡선 $y = f ( x )$와 접하므로 $f' ( 0 ) = - 1$이다. ㉠의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $f' ( x ) - 1 = 2 ( x - b ) ( x - c ) + ( x - b ) ^{2}$ ⋯⋯ ㉢ ㉢의 양변에 $x = 0$을 대입하면 $f' ( 0 ) - 1$$= 2 bc + b ^{2}$$= - 2$ $b ^{2} = 2$ (∵ ㉡) ∴ $\displaystyle b = \sqrt{2}$ (∵ $b > 0$) $\displaystyle b = \sqrt{2}$를 ㉡에 대입하면 $\displaystyle c = - \sqrt{2}$ 구하는 값은 $f' ( c )$이므로 ㉢에 $x = c$를 대입하면 $\displaystyle f' ( c ) - 1 = ( c - b ) ^{2} = ( - 2 \sqrt{2} ) ^{2} = 8$ ∴ $f' ( c ) = 9$