미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

수직 접선 교점

문제

곡선 y=x22\displaystyle y = \frac{x ^{2}}{2} 위의 점 P(a,a22)\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( a , \frac{a ^{2}}{2} \right)}에서 접하는 직선을 ll이라 하자. 직선 ll과 수직인 직선 중 곡선 y=x22\displaystyle y = \frac{x ^{2}}{2}에 접하는 직선을 mm이라 하고, 직선 mm과 곡선 y=x22\displaystyle y = \frac{x ^{2}}{2}의 접점을 Q\mathrm{Q}라 하자. yy축과 직선 PQ\mathrm{PQ}가 점 R\mathrm{R}에서 만날 때, 점 R\mathrm{R}의 yy좌표는? (단, a≠0a \ne 0) [4점]

①38\displaystyle \frac{3}{8}②12\displaystyle \frac{1}{2}③58\displaystyle \frac{5}{8}④34\displaystyle \frac{3}{4}⑤78\displaystyle \frac{7}{8}

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②

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해설

[출제의도] 도함수의 성질을 이용하여 y\mathbf{y}좌표 구하는 문제를 해결한다. f(x)f ( x )=x22\displaystyle = \frac{{x} ^{2}}{2}이라 하면 f′(x)f' ( x )=x= x f′(a)f' ( a )=a= a이므로 접선 ll의 방정식은 y=ax−a22\displaystyle y = ax - {\frac{a ^{2}}{2}} 직선 mm은 ll과 수직이므로 기울기가 −1a\displaystyle - \frac{1}{a} 미분계수가 −1a\displaystyle - \frac{1}{a}인 점 Q\mathrm{Q}의 xx좌표는 f′(x)f' ( x )=−1a\displaystyle = - \frac{1}{a}에서 xx=−1a\displaystyle = - \frac{1}{a} 직선 mm과 곡선 y=x22\displaystyle y = \frac{{x} ^{2}}{2}의 접점은 Q(−1a,12a2)\displaystyle \mathrm{Q} \mathit{\left( - \frac{1}{a} , \frac{1}{2 a ^{2}} \right)} 직선 PQ\mathrm{PQ}의 방정식은 yy=a22−12a2a+1a(x−a)+a22\displaystyle = \frac{\frac{a ^{2}}{2} - \frac{1}{2 a ^{2}}}{a + \frac{1}{a}} ( x - a ) + \frac{a ^{2}}{2}=a2−12ax+12\displaystyle = \frac{a ^{2} - 1}{2 a} x + \frac{1}{2} 이 직선이 yy축과 만나는 점 R\mathrm{R}를 구하면 R(0,12)\displaystyle \mathrm{R} \left( 0 , \frac{1}{2} \right) 따라서 점 R\mathrm{R}의 yy좌표는 12\displaystyle \frac{1}{2}이다.

태그

#접선#포물선

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