쌍곡선의 주축

[출제의도] 쌍곡선의 점근선의 방정식을 이용하여 쌍곡선의 방정식을 구하고, 주축의 길이를 구할 수 있는가? 그림과 같이 점 $\mathrm{P}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$, 선분 $\mathrm{PP}'$이 $y$축과 만나는 점을 $\mathrm{M}$이라 하자.

$\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} : \overline{\mathrm{PP}'} = 5 : 6$이고 점 $\mathrm{M}$은 선분 $\mathrm{PP}'$의 중점이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} : \overline{\mathrm{MP}} = 5 : 3$ 이고, 직각삼각형 $\mathrm{AMP}$에서 $\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{AM}}}{\overline{\mathrm{MP}}} = \frac{4}{3}$ 즉, 직선 $\mathrm{AF}$의 기울기는 $\displaystyle - \frac{4}{3}$이고 직선 $\mathrm{AF}'$의 기울기는 $\displaystyle \frac{4}{3}$이므로 쌍곡선 $C$의 두 점근선의 기울기는 $\displaystyle \pm \frac{4}{3}$이다. 쌍곡선 $C$의 방정식을 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ (단, $a > 0$, $b > 0$) 으로 놓으면 $\displaystyle \frac{b}{a} = \frac{4}{3}$이므로 $a = 3 k$, $b = 4 k$ (단, $k > 0$) 이라 하면 쌍곡선 $C$의 방정식은 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{9 k ^{2}} - \frac{y ^{2}}{16 k ^{2}} = 1$ $\cdots \cdots$ ㉠ 이다. 이때 점 $\mathrm{F}$의 $x$좌표는 $\displaystyle \sqrt{9 k ^{2} + 16 k ^{2}} = \sqrt{25 k ^{2}} = 5 k$ 이고, 직각삼각형 $\mathrm{PHF}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PF}} = 1$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{HF}} = \frac{3}{5}$, $\displaystyle \overline{\mathrm{PH}} = \frac{4}{5}$ 이다. 즉, 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{5} k - \frac{3}{5} , \frac{4}{5} \right)$ 이고, 이 점이 쌍곡선 $C$ 위에 있으므로 ㉠에 대입하면 $\displaystyle \frac{\left( 5 k - \frac{3}{5} \right) ^{2}}{9 k ^{2}} - \frac{\left( \frac{4}{5} \right) ^{2}}{16 k ^{2}} = 1$ $\displaystyle 25 k ^{2} - 6 k + \frac{9}{25} - \frac{9}{25} = 9 k ^{2}$ $16 k ^{2} - 6 k = 0$ $2 k \left( 8 k - 3 \right) = 0$ $k > 0$이므로 $\displaystyle k = \frac{3}{8}$ 따라서 구하는 쌍곡선 $C$의 주축의 길이는 $\displaystyle 2 a = 2 \times 3 k = 6 k = 6 \times \frac{3}{8} = \frac{9}{4}$