쌍곡선의 접선과 점근선

점 $( b , 1 )$이 쌍곡선 $x ^{2} - 4 y ^{2} = a$ 위의 점이므로 $b ^{2} - 4 = a \cdots \cdots \text{㉠}$ 이 쌍곡선의 점근선은 $\displaystyle y = \pm \frac{1}{2} x$이고 점 $( b , 1 )$에서의 접선의 방정식은 $bx - 4 y = a$ 즉 $\displaystyle y = \frac{b}{4} x - \frac{a}{4}$이다. 직선 $\displaystyle y = \frac{b}{4} x - \frac{a}{4}$와 직선 $\displaystyle y = - \frac{1}{2} x$가 수직이므로 $\displaystyle \frac{b}{4} \times \left( - \frac{1}{2} \right) = - 1$ $\therefore b = 8$ $b = 8$을 ㉠에 대입하면 $a = 8 ^{2} - 4 = 60$ $\therefore a + b = 60 + 8 = 68$