기하이차곡선수능 기출기본 문제 (3점 중반)

쌍곡선의 점근선

문제

쌍곡선 x2a2−y28=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{8} = 1의 한 점근선의 방정식이 y=2x\displaystyle y = \sqrt{2} x일 때, 이 쌍곡선의 두 초점 사이의 거리는?(단, aa는 양수이다.) [3점] ①42\displaystyle 4 \sqrt{2}②66③210\displaystyle 2 \sqrt{10}④211\displaystyle 2 \sqrt{11}⑤43\displaystyle 4 \sqrt{3}

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⑤

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해설

[출제의도] 쌍곡선의 점근선 이해하기 쌍곡선 x2a2−y28=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{8} = 1의 점근선의 방정식은 y=±22ax\displaystyle y = \mathit{\pm} \frac{2 \sqrt{2}}{a} x이므로 22a=2\displaystyle \frac{2 \sqrt{2}}{a} = \sqrt{2}에서 a=2a = 2 쌍곡선 x24−y28=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{8} = 1의 두 초점을 F(c,0)\mathrm{F} \left( \mathit{c} , 0 \right), F′(−c,0)\mathrm{F}' \left( \mathit{-} c , 0 \right)(c>0c > 0)이라 하면 c=4+8=23\displaystyle c = \sqrt{4 + 8} = 2 \sqrt{3} 따라서 구하는 두 초점 사이의 거리는 43\displaystyle 4 \sqrt{3}

태그

#쌍곡선#점근선#초점

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