미적분Ⅱ정적분의 활용수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

쌍곡선과 원 회전체 부피

문제

그림과 같이 점 A(1,0)\mathrm{A} ( 1 , 0 )에서 쌍곡선 x24−y23=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{3} = 1에 그은 접선이 쌍곡선과 만나는 두 점을 각각 P,Q\mathrm{P} , Q라 하자.

세 점 A\mathrm{A}, P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}를 지나는 원의 내부가 쌍곡선에 의해 나뉘어서 생긴 두 영역 중에서 넓이가 큰 영역을 xx축의 둘레로 회전시킨 회전체의 부피는 VV이다. Vπ\displaystyle \frac{V}{\pi}의 값을 구하시오. [4점]

zzP(0≤Z≤z){\mathrm{P}} ( 0 \leq Z \leq z )
1.01.00.3410.341
1.51.50.4330.433
2.02.00.4770.477
2.52.50.4940.494
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26

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해설

접선의 방정식은 y=±(x−1)y = \pm \left( x - 1 \right)이고, 두 접점 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}의 좌표는 각각 (4,3)\left( 4 , 3 \right), (4,−3)\left( 4 , - 3 \right)이다. 이때, 점 A\mathrm{A}, P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}를 지나는 원의 방정식은 (x−4)2+y2=9\left( x - 4 \right) ^{2} + y ^{2} = 9이다. V=π∫24(34x2−3)dx+18π=26π\displaystyle V = \pi \int _{2} ^{4} {\left( \frac{3}{4} x ^{2} - 3 \right) dx} + 18 \pi = 26 \pi ∴ Vπ=26\displaystyle \frac{V}{\pi} = 26

태그

#회전체#쌍곡선#원

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