기하이차곡선수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

쌍곡선과 원 교점

문제

좌표평면에서 원 C:x2+y2=25C : x ^{2} + y ^{2} = 25와 직선 y=34x\displaystyle y = \frac{3}{4} x의 교점을 PP라 하고 점 PP에서 xx축에 내린 수선의 발을 QQ라 하자. 점근선의 방정식이 y=±34x\displaystyle y = \pm \frac{3}{4} x이고 점 QQ를 지나는 쌍곡선 HH가 원 CC와 제1사분면에서 만나는 점을 RR라 하고 쌍곡선 HH의 초점 중 xx좌표가 양수인 점을 FF라 하자. FR‾=p+q\displaystyle {\overline{FR}} = p + \sqrt{q}일 때, 두 정수 pp, qq에 대하여 p+qp + q의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 쌍곡선의 그래프를 이용하여 관련 문항을 해결할 수 있다.

점근선의 방정식이 y=±34x\displaystyle y = \pm \frac{3}{4} x이고 점 Q\mathrm{Q}를 지나는 쌍곡선 HH의 방정식은 x216−y29=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{16} - \frac{y ^{2}}{9} = 1이다. 쌍곡선 HH의 두 초점의 좌표는 F(5,0),F′(−5,0)\mathrm{F} \left( 5 , 0 \right) , F' ( - 5 , 0 )이고 쌍곡선의 정의에 의해 F′R‾−FR‾=8\displaystyle {\overline{\mathrm{F}' R}} - {\overline{\mathrm{FR}}} = 8 선분 FF′\mathrm{F} F'이 원 CC의 지름이므로 삼각형 FRF′\mathrm{F} RF'은 직각삼각형이다. F′R‾2+FR‾2=F′F‾2\displaystyle {\overline{\mathrm{F}' R}} ^{2} + {\overline{\mathrm{FR}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{F}' F}} ^{2}에서 (FR‾+8)2+FR‾2=102\displaystyle \left( {\overline{\mathrm{FR}}} + 8 \right) ^{2} + {\overline{\mathrm{FR}}} ^{2} = 10 ^{2} FR‾2+8FR‾−18=0\displaystyle {\overline{\mathrm{FR}}} ^{2} + 8 {\overline{\mathrm{FR}}} - 18 = 0 따라서 FR‾=−4+34\displaystyle {\overline{\mathrm{FR}}} = - 4 + \sqrt{34}이므로 p=−4,q=34p = - 4 , q = 34이고 p+q=30p + q = 30

태그

#쌍곡선#초점#원

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