쌍곡선과 타원 내접원

[출제의도] 쌍곡선과 타원의 정의를 알고 관련 문항을 해결할 수 있다. 쌍곡선 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{16} - \frac{y ^{2}}{9} = 1$과 타원 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{34} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$의 초점은 $\mathrm{F} ( 5 , 0 )$, $\mathrm{F}' ( - 5 , 0 )$이다.

삼각형 $\mathrm{PF}' F$의 내접원이 세변 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} , {\overline{F' F}} , {\overline{PF'}}$에 접하는 점을 각각 점 $\mathrm{A} , B , C$라고 하자. $\displaystyle \mathrm{\overline{F' F}} = {\overline{F' B}} + {\overline{FB}} = 10$ 원의 접선의 성질에 의해 $\displaystyle {\mathrm{\overline{FB}} = {\overline{FA}}} = \alpha$, $\displaystyle {\mathrm{\overline{PA}} = {\overline{PC}}} = k$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{F' B}} = {\overline{F' C}} = 10 - \alpha$이다. 쌍곡선의 정의에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF'}} - \overline{PF} = \left( \overline{F' C} + \overline{PC} \right) - \left( \overline{PA} + \overline{AF} \right)$$\displaystyle = \mathrm{\overline{F' C}} - \overline{AF} = 8$ $10 - 2 \alpha = 8$이므로 $\alpha = 1$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{F' B}} = {\overline{F' C}} = 9$, $\displaystyle \mathrm{\overline{FB}} = {\overline{FA}} = 1$이다. 타원의 정의에 의해 $\displaystyle {\mathrm{\overline{PF'}} + {\overline{PF}}} = ( 9 + k ) + ( 1 + k ) = 2 \sqrt{34}$ 그러므로 $\displaystyle k = {\mathrm{\overline{PA}}} = \sqrt{34} - 5$ 따라서 $\displaystyle {\mathrm{\overline{PA}} - {\overline{AF}}} = k - \alpha = ( \sqrt{34} - 5 ) - 1 = \sqrt{34} - 6$ 이므로 $a = - 6 , b = 34$이고 $a + b = 28$