기하이차곡선수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

쌍곡선과 수직이등분선

문제

두 점 F\mathrm{F}, F′\mathrm{F}'을 초점으로 하는 쌍곡선 x24−y232=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{32} = 1 위의 점 A\mathrm{A}가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) AF‾<AF′‾\displaystyle \overline{\mathrm{AF}} < \overline{\mathrm{AF}'} (나) 선분 AF\mathrm{AF}의 수직이등분선은 점 F′\mathrm{F}'을 지난다.

선분 AF\mathrm{AF}의 중점 M\mathrm{M}에 대하여 직선 MF′\mathrm{MF}'과 쌍곡선의 교점 중 점 A\mathrm{A}에 가까운 점을 B\mathrm{B}라 할 때, 삼각형 BFM\mathrm{BFM}의 둘레의 길이는 kk이다. k2k ^{2}의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 쌍곡선의 성질을 이용하여 도형에 대한 문제를 해결한다.

그림과 같이 쌍곡선 x24−y232\displaystyle \frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{32}=1= 1의 두 초점의 좌표를 F(6,0)\mathrm{F} \left( 6 , 0 \right), F′(−6,0)\mathrm{F}' \left( - 6 , 0 \right)이라 하자. 점 F′\mathrm{F}'이 선분 AF\mathrm{AF}의 수직이등분선 위의 점이므로 두 직각삼각형 AF′M\mathrm{AF}' M, FF′M\mathrm{FF}' M이 합동이다. 그러므로 AF′‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AF}'}}=FF′‾\displaystyle = {\overline{\mathrm{FF}'}}=12= 12 점 A\mathrm{A}가 쌍곡선 위의 점이므로 AF′‾−AF‾\displaystyle \overline{\mathrm{AF}'} - \overline{\mathrm{AF}}=4= 4에서 AF‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AF}}}=8= 8 점 M\mathrm{M}은 선분 AF\mathrm{AF}의 중점이므로 AM‾\displaystyle \overline{\mathrm{AM}}=4= 4 직각삼각형 AF′M\mathrm{AF}' M에서 피타고라스 정리에 의하여 MF′‾\displaystyle {\overline{\mathrm{MF}'}}=122−42\displaystyle = \sqrt{12 ^{2} - 4 ^{2}}=82\displaystyle = 8 \sqrt{2} 점 B\mathrm{B}가 쌍곡선 위의 점이므로 BF‾\displaystyle {\overline{\mathrm{BF}}}=BF′‾−4\displaystyle = {\overline{\mathrm{BF}'}} - 4이고 BM‾\displaystyle {\overline{\mathrm{BM}}}=82−BF′‾\displaystyle \mathrm{=} 8 \sqrt{2} - {\overline{\mathrm{BF}'}}이므로 삼각형 BFM\mathrm{BFM}의 둘레의 길이는 BF‾+FM‾+BM‾\displaystyle \overline{\mathrm{BF}} + \overline{\mathrm{FM}} + \overline{\mathrm{BM}}=(BF′‾−4)+4+(82−BF′‾)\displaystyle = \left( {\overline{\mathrm{BF}'}} - 4 \right) + 4 + \left( 8 \sqrt{2} - \overline{\mathrm{BF}'} \right)=82\displaystyle = 8 \sqrt{2} 따라서 kk=82\displaystyle = 8 \sqrt{2}이므로 k2k ^{2}=128= 128

태그

#쌍곡선#쌍곡선의 정의#수직이등분선

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