기하이차곡선수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

쌍곡선과 선분 비

문제

그림과 같이 두 점 F(c,0)\mathrm{F} \mathit{\left( \mathit{c} , 0 \right)}, F′(−c,0)\mathrm{F}' \mathit{\left( - c , 0 \right)} (c>0)\left( c > 0 \right)을 초점으로 하는 쌍곡선 x24−y2b2=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1이 있다. 점 F\mathrm{F}를 지나고 xx축에 수직인 직선이 쌍곡선과 제11사분면에서 만나는 점을 P\mathrm{P}라 하고, 직선 PF\mathrm{PF} 위에 QP‾:PF‾=5:3\displaystyle \mathrm{\overline{QP}} : \overline{PF} = 5 : 3이 되도록 점 Q\mathrm{Q}를 잡는다. 직선 F′Q\mathrm{F}' Q가 yy축과 만나는 점을 R\mathrm{R}라 할 때, QP‾=QR‾\displaystyle \mathrm{\overline{QP}} = \overline{QR}이다. b2b ^{2}의 값은? (단, bb는 상수이고, 점 Q\mathrm{Q}는 제11사분면 위의 점이다.) [3점]

①12+25\displaystyle \frac{1}{2} + 2 \sqrt{5}②1+25\displaystyle 1 + 2 \sqrt{5}③32+25\displaystyle \frac{3}{2} + 2 \sqrt{5}④2+25\displaystyle 2 + 2 \sqrt{5}⑤52+25\displaystyle \frac{5}{2} + 2 \sqrt{5}

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④

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해설

삼각형 QFF′\mathrm{QFF}'의 세 변의 길이는 10k10 k, 8k8 k, 6k=2c6 k = 2 c 쌍곡선의 정의에서 삼각형 PFF′\mathrm{PFF}'의 세 변의 길이는 3k+43 k + 4, 3k3 k, 6k=2c6 k = 2 c (3k+4)2=(3k)2+(6k)2( 3 k + 4 ) ^{2} = ( 3 k ) ^{2} + ( 6 k ) ^{2}, (3k)2−2(3k)−4=0( 3 k ) ^{2} - 2 ( 3 k ) - 4 = 0, 3k=1+5\displaystyle 3 k = 1 + \sqrt{5} b2=c2−4=(3k)2−4=b ^{2} = c ^{2} - 4 = ( 3 k ) ^{2} - 4 =(1+5)2−4\displaystyle ( 1 + \sqrt{5} ) ^{2} - 4=2+25\displaystyle = 2 + 2 \sqrt{5}

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#쌍곡선#쌍곡선의 정의#피타고라스 정리

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