기하이차곡선수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

쌍곡선과 포물선 초점

문제

그림과 같이 두 점 F(k,0)\mathrm{F} ( \mathit{k} , 0 ), F′(−k,0)\mathrm{F}' ( \mathit{-} k , 0 )을 초점으로 하는 쌍곡선 x2a2−y2b2=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1과 점 F\mathrm{F}를 초점으로 하는 포물선 y2=56(x+c)y ^{2} = 56 ( x + c )가 있다.

쌍곡선 위의 임의의 점 P\mathrm{P}에 대하여 ∣PF‾−PF′‾∣=10\displaystyle | \mathrm{\overline{PF}} - \overline{PF'} | = 10이 성립하고, 포물선의 꼭짓점 A\mathrm{A}에 대하여 AF′‾:FF‾′=1:6\displaystyle \mathrm{\overline{AF'}} : \overline{FF}' = 1 : 6이 성립한다. 이때, c2a2−b2\displaystyle \frac{c ^{2}}{a ^{2} - b ^{2}}의 값은? (단, 0<k<c0 < k < c이다.) [4점] ①5314\displaystyle \frac{53}{14}②5514\displaystyle \frac{55}{14}③307\displaystyle \frac{30}{7}④327\displaystyle \frac{32}{7}⑤347\displaystyle \frac{34}{7}

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④

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해설

∣PF‾−PF′‾∣=10\displaystyle | \mathrm{\overline{PF}} - \overline{PF'} | = 10이므로 a=5a = 5이다. y2=4×14(x+c)y ^{2} = 4 \times 14 ( x + c )이므로 AF‾=14\displaystyle \mathrm{\overline{AF}} = 14이다. AF′‾:FF′‾=1:6\displaystyle \mathrm{\overline{AF'}} : \overline{FF'} = 1 : 6이므로 AF′‾=2,FF′‾=12\displaystyle \mathrm{\overline{AF'}} = 2 , \overline{FF'} = 1 2이다. c2a2−b2=6425−11=327\displaystyle \frac{c ^{2}}{a ^{2} - b ^{2}} = \frac{64}{25 - 11} = \frac{32}{7}

태그

#쌍곡선#포물선

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