쌍곡선과 포물선

준선 $l$이 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{H} \left( \mathit{k} , 0 \right)$이라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{AF}} = \overline{AH}$이므로 $- a - k = 3 + a$, $k = - 2 a - 3$ 직선 $l$과 쌍곡선 $C _{1}$이 만나는 점 중 제$2$사분면 위의 점을 $\mathrm{Q}$라 하면 점 $\mathrm{Q}$의 $x$좌표는 $- 2 a - 3$이다. 쌍곡선 $C _{1}$과 포물선 $C _{2}$가 만나는 점 중 제$1$사분면 위의 점을 $\mathrm{P}$라 하면 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 $y$좌표가 같으므로 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$는 $y$축에 대하여 대칭이다. 따라서 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표는 $2 a + 3$이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = \mathit{4} a + 6$이고, 포물선의 성질에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} = \overline{PQ}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} = \mathit{4} a + 6$ 쌍곡선의 성질에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF'}} - \overline{PF} = \mathit{2} a$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF'}} = \mathit{6} a + 6$ 점 $\mathrm{P}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm{I}$라 하면 $\mathrm{I} \left( \mathit{2} a + 3 , 0 \right)$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{FI}} = \mathit{2} a$, $\displaystyle \mathrm{\overline{F' I}} = \mathit{2} a + 6$ 삼각형 $\mathrm{PFI}$가 직각삼각형이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{P I}} ^{2}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{PF}} ^{2} - {\overline{FI}} ^{2}$ $= \left( 4 a + 6 \right) ^{2} - \left( 2 a \right) ^{2}$ $= 12 a ^{2} + 48 a + 36$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 삼각형 $\mathrm{PF}' I$가 직각삼각형이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{P I}} ^{2}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{PF'}} ^{2} - {\overline{F' I}} ^{2}$ $= \left( 6 a + 6 \right) ^{2} - \left( 2 a + 6 \right) ^{2}$ $= 32 a ^{2} + 48 a$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $12 a ^{2} + 48 a + 36 = 32 a ^{2} + 48 a$, $\displaystyle a ^{2} = \frac{9}{5}$ 따라서 $p = 5$, $q = 9$이므로 $p + q = 5 + 9 = 14$ [다른 풀이] 쌍곡선 $C _{1}$의 두 초점이 $\mathrm{F} \mathit{\left( 3 , 0 \right)}$, $\mathrm{F}' \mathit{\left( - 3 , 0 \right)}$이고 주축의 길이가 $2 a$이므로 쌍곡선 $C _{1}$의 방정식은 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{9 - a ^{2}} = 1$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 포물선 $C _{2}$는 초점이 $\mathrm{F} \left( 3 , 0 \right)$이고 꼭짓점이 $\mathrm{A} \mathit{\left( - a , 0 \right)}$이므로 초점과 꼭짓점 사이의 거리는 $3 - \left( - a \right) = a + 3$ 따라서 포물선 $C _{2}$의 방정식은 $y ^{2} = 4 \left( a + 3 \right) \left( x + a \right)$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 또, 준선 $l$의 방정식은 $x = - a - \left( a + 3 \right) = - 2 a - 3$ 쌍곡선 $C _{1}$과 직선 $l$이 만나는 점 중 제$2$사분면 위의 점을 $\mathrm{Q}$라 하면 점 $\mathrm{Q}$의 $x$좌표는 $- 2 a - 3$

점 $\mathrm{Q}$의 $y$좌표를 $k$ ($k > 0$)이라 하면 점 $\mathrm{Q} \mathit{\left( - 2 a - 3 , k \right)}$는 쌍곡선 $C _{1}$위의 점이므로 ㉠에 대입하면 $\displaystyle \frac{\left( - 2 a - 3 \right) ^{2}}{a ^{2}} - \frac{k ^{2}}{9 - a ^{2}} = 1$ $\displaystyle \frac{k ^{2}}{9 - a ^{2}} = \frac{\left( 2 a + 3 \right) ^{2}}{a ^{2}} - 1$ $\displaystyle \frac{k ^{2}}{9 - a ^{2}} = \frac{3 a ^{2} + 12 a + 9}{a ^{2}}$ $\displaystyle k ^{2} = \frac{3 \left( 9 - a ^{2} \right) \left( a + 1 \right) \left( a + 3 \right)}{a ^{2}}$ $\cdots$$\cdots$ ㉢ 쌍곡선 $C _{1}$과 포물선 $C _{2}$가 만나는 점 중 제$1$사분면 위의 점을 $\mathrm{P}$라 하면 점 $\mathrm{P}$는 점 $\mathrm{Q}$의 $y$축에 대하여 대칭인 점이므로 $\mathrm{P} \mathit{\left( 2 a + 3 , k \right)}$ 이때 점 $\mathrm{P}$는 포물선 $C _{2}$위의 점이므로 ㉡에 대입하면 $k ^{2}$$= 4 \left( a + 3 \right) \left( 2 a + 3 + a \right)$$= 12 \left( a + 1 \right) \left( a + 3 \right)$ $\cdots$$\cdots$ ㉣ ㉢, ㉣에서 $\displaystyle \frac{3 \left( 9 - a ^{2} \right) \left( a + 1 \right) \left( a + 3 \right)}{a ^{2}}$$= 12 \left( a + 1 \right) \left( a + 3 \right)$ $a > 0$이므로 $\displaystyle \frac{\left( 9 - a ^{2} \right)}{a ^{2}} = 4$, $9 - a ^{2} = 4 a ^{2}$ $\therefore$ $\displaystyle a ^{2} = \frac{9}{5}$ 따라서 $p = 5$, $q = 9$이므로 $p + q = 5 + 9 = 14$