기하이차곡선수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

쌍곡선과 접하는 원

문제

좌표평면 위에 두 점 A(−4,0)\mathrm{A} \left( - 4 , 0 \right), B(4,0)\mathrm{B} \left( 4 , 0 \right)과 쌍곡선 x24−y212=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{12} = 1이 있다. 쌍곡선 위에 있고 제11사분면에 있는 점 P\mathrm{P}에 대하여 ∠APB=π2\displaystyle \angle \mathrm{APB} = \frac{\pi}{2}일 때, 원점을 중심으로 하고 직선 AP\mathrm{AP}에 접하는 원의 반지름의 길이는? [4점] ①7−2\displaystyle \sqrt{7} - 2②7−1\displaystyle \sqrt{7} - 1③22−1\displaystyle 2 \sqrt{2} - 1④7\displaystyle \sqrt{7}⑤22\displaystyle 2 \sqrt{2}

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②

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해설

[출제의도] 쌍곡선을 활용하여 문제해결하기

원점을 O\mathrm{O}, 직선 AP\mathrm{AP}와 원이 접하는 점을 Q\mathrm{Q}라 하면 삼각형 ABP\mathrm{ABP}와 삼각형 AOQ\mathrm{AOQ}는 서로 닮음이고, AB‾=8\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 8, AO‾=4\displaystyle \overline{\mathrm{AO}} = 4이므로 닮음비는 2:12 : 1이다. OQ‾=r\displaystyle {\overline{\mathrm{OQ}}} = \mathit{r}라 하면 BP‾=2r\displaystyle {\overline{\mathrm{BP}}} = \mathit{2} r 두 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}가 쌍곡선의 초점이므로 쌍곡선의 정의에 의하여 AP‾−BP‾=4\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} - {\overline{\mathrm{BP}}} = 4 AP‾=4+2r\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} = 4 + 2 r 직각삼각형 ABP\mathrm{ABP}에서 (4+2r)2+(2r)2=64\left( 4 + 2 r \right) ^{2} + \left( 2 r \right) ^{2} = 64 r2+2r−6=0r ^{2} + 2 r - 6 = 0 따라서 원의 반지름의 길이는 7−1\displaystyle \sqrt{7} - 1

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#쌍곡선#정의#원

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