쌍곡선과 접하는 원

[출제의도] 쌍곡선의 정의를 이해하고 있는가? 원의 중심을 $\mathrm{A} \left( \mathit{0} , a \right)$라 하고, 원과 직선 $\mathrm{PF}$의 접점을 $\mathrm{R}$라 하자. $\displaystyle \mathrm{\overline{PF'}} = \mathit{p}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = \overline{PR} = \mathit{q}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{RF}} = \mathit{r}$ 라 하자. $\displaystyle \mathrm{\overline{F' Q}} = 5 \sqrt{2}$이므로 $\displaystyle p + q = 5 \sqrt{2}$ $\cdots \cdots$ ㉠ 쌍곡선의 주축의 길이가 $\displaystyle 2 \times 2 \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}$ 이므로 쌍곡선의 정의에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} - \overline{PF'} = \mathit{q} + r - p = 4 \sqrt{2}$ $\cdots \cdots$ ㉡ $\displaystyle \mathrm{\overline{AQ}} = \overline{AR}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AF}} = \overline{AF'}$이고 $\mathrm{\angle} AQF' = \angle ARF = 90 ^\circ$이므로 두 삼각형 $\mathrm{AQF}'$과 직각삼각형 $\mathrm{ARF}$는 서로 합동이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{RF}} = \overline{QF'}$이므로 $\displaystyle r = 5 \sqrt{2}$ $\cdots \cdots$ ㉢ ㉢을 ㉡에 대입하여 정리하면 $\displaystyle p - q = \sqrt{2}$ $\cdots \cdots$ ㉣ ㉠, ㉣을 연립하면 $\displaystyle p = 3 \sqrt{2}$, $\displaystyle q = 2 \sqrt{2}$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{FP}} ^{2} + {\overline{F' P}} ^{2}$$= p ^{2} + \left( q + r \right) ^{2}$ $\displaystyle = \left( 3 \sqrt{2} \right) ^{2} + \left( 7 \sqrt{2} \right) ^{2}$ $= 18 + 98 = 116$