쌍곡선과 최단거리

[출제의도] 쌍곡선의 성질을 이용하여 조건을 만족시키는 삼각형의 넓이를 구할 수 있는가? 선분 $\mathrm{BC}$의 중점을 $\mathrm{O}$라 하고 직선 $\mathrm{BC}$를 $x$축으로, 직선 $\mathrm{OA}$를 $y$축으로 하는 좌표평면을 생각하자. $\mathrm{B} ( - 5 , 0 ) , C ( 5 , 0 )$이고, 점 $\mathrm{P}$는 두 점 $\mathrm{B} , C$를 초점으로 하고, 주축의 길이가 $2$인 쌍곡선 위의 점이다. 이 쌍곡선의 방정식을 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ 이라 하면 $2 a = 2$에서 $a = 1$ $25 = a ^{2} + b ^{2}$에서 $b ^{2} = 24$ 즉 쌍곡선의 방정식은 $\displaystyle x ^{2} - \frac{y ^{2}}{24} = 1$ $\mathrm{P} ( \mathit{p} , q )$라 하면 $\displaystyle p ^{2} - \frac{q ^{2}}{24} = 1$이고, $\displaystyle \mathrm{A} \left( 0 , 5 \sqrt{3} \right)$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PA}}} ^{2}$$\displaystyle = p ^{2} + \left( q - 5 \sqrt{3} \right) ^{2}$$\displaystyle = 1 + \frac{q ^{2}}{24} + \left( q - 5 \sqrt{3} \right) ^{2}$ $\displaystyle \frac{d}{dq} \left( {\overline{\mathrm{PA}}} ^{2} \right) = 0$에서 $\displaystyle q = \frac{24 \sqrt{3}}{5}$이므로 $\displaystyle q = \frac{24 \sqrt{3}}{5}$일 때 선분 $\mathrm{PA}$의 길이가 최소이다. 따라서 삼각형 $\mathrm{PBC}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 10 \times \frac{24 \sqrt{3}}{5} = 24 \sqrt{3}$