쌍곡선과 벡터 자취

초점이 $\mathrm{F} \left( 5 , 0 \right)$, $\mathrm{F}' \left( - 5 , 0 \right)$이고 주축의 길이가 $6$인 쌍곡선의 방정식은 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{3 ^{2}} - \frac{y ^{2}}{4 ^{2}} = 1$ $\left| \mathrm{\vec{FP}} \right| = \mathit{k}$라 하면 $\left( \left| \mathrm{\vec{FP}} \right| + 1 \right) \mathrm{\vec{F' Q}} = 5 \vec{QP}$에서 $\left( k + 1 \right) \mathrm{\vec{F' Q}} = 5 {\vec{QP}}$, $\left( k + 1 \right) \mathrm{\vec{QF'}} + 5 {\vec{QP}} = 0$ 이므로 세 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{F}'$가 한 직선 위에 있고, 점 $\mathrm{Q}$는 선분 $\mathrm{F}' P$를 $5 : \left( k + 1 \right)$로 내분한다.

그런데 쌍곡선의 정의에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF'}} = \mathit{k} + 6$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{QF'}} = \mathit{5}$ 따라서 점 $\mathrm{Q}$는 점 $\mathrm{F}'$를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $5$인 원 위의 점이다. 그런데 점 $\mathrm{F}$가 쌍곡선 위를 움직이므로 점 $\mathrm{Q}$는 점 $\mathrm{F}'$를 중심으로 하는 원 위와 기울기가 $\displaystyle \frac{4}{3}$보다는 작고 기울기가 $\displaystyle - \frac{4}{3}$보다는 큰 직선 사이에 존재한다.

점 $\mathrm{Q}$의 자취의 방정식은 $\left( x + 5 \right) ^{2} + y ^{2} = 25$ 점 $\mathrm{A} \left( - 9 , - 3 \right)$는 원 $\left( x + 5 \right) ^{2} + y ^{2} = 25$ 위의 점이 $\left| \mathrm{\vec{AQ}} \right|$의 최댓값은 직선 $\mathrm{AQ}$가 원의 중심을 지날 때 $10$이다.