쌍곡선 위 대칭점 삼각형

[출제의도] 점의 대칭이동과 점과 직선 사이의 거리를 이용하여 점의 좌표를 구한다. 점 $\mathrm{B}$가 곡선 $\displaystyle y = \frac{2}{x}$ 위의 점이므로 $\displaystyle \beta = \frac{2}{\alpha}$, 즉 $\alpha \beta = 2$ $\cdots \cdots$ ㉠ $\displaystyle \alpha > \sqrt{2}$이므로 $\displaystyle 0 < \beta < \sqrt{2}$, 즉 $0 < \beta < \alpha$ 두 점 $\mathrm{B} , C$가 직선 $y = x$에 대하여 서로 대칭이므로 $\mathrm{C} \left( \mathit{\beta} , \alpha \right)$ ∴ $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} = \sqrt{\mathit{\left( \beta - \alpha \right)} ^{2} + \left( \alpha - \beta \right) ^{2}} = \sqrt{2} \mathit{\left( \alpha - \beta \right)}$ (∵$\alpha > \beta$) 직선 $\mathrm{BC}$와 직선 $y = x$가 서로 수직이므로 직선 $\mathrm{BC}$의 기울기는 $- 1$이다. 또한 이 직선이 점 $\mathrm{B}$를 지나므로 직선 $\mathrm{BC}$의 방정식은 $y - \beta = - \left( x - \alpha \right)$, 즉 $x + y - \left( \alpha + \beta \right) = 0$ 점 $\mathrm{A}$와 직선 $\mathrm{BC}$ 사이의 거리를 $h$라 하면 $\displaystyle h = \frac{\left| - 2 + 2 - \left( \alpha + \beta \right) \right|}{\sqrt{1 ^{2} + 1 ^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( {\alpha + \beta} \right. )$ (∵$\alpha > 0$, $\beta > 0$) 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이가 $\displaystyle 2 \sqrt{3}$이므로 $\triangle \mathrm{ABC}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{BC}} \times \mathit{h}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \left( \alpha - \beta \right) \times \frac{1}{\sqrt{2}} \left( {\alpha + \beta} \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \left( \alpha ^{2} - \beta ^{2} \right)$$\displaystyle = 2 \sqrt{3}$ $\displaystyle \alpha ^{2} - \beta ^{2} = 4 \sqrt{3}$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $( \alpha ^{2} + \beta ^{2} ) ^{2}$$= ( \alpha ^{2} - \beta ^{2} ) ^{2} + 4 \alpha ^{2} \beta ^{2}$$\displaystyle = ( 4 \sqrt{3} ) ^{2} + 4 \times 2 ^{2}$$= 64$ $\alpha ^{2} + \beta ^{2} > 0$이므로 $\alpha ^{2} + \beta ^{2} = 8$