쌍곡선 주축의 길이

[출제의도] 쌍곡선의 성질을 이용하여 쌍곡선의 주축의 길이를 구할 수 있는가?

쌍곡선의 방정식을 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$(단, $a > 0. b > 0 )$이라하면 점근선의 방정식은 $\displaystyle y = \pm \frac{b}{a} x$이므로 $\displaystyle \frac{b}{a} = \frac{4}{3}$ $\displaystyle b = \frac{4}{3} a$ 조건 (가)에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}}' > \overline{PF}$이고 점 $\mathrm{P}$가 쌍곡선 위의 점이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}}' - \overline{PF} = \mathit{2} a$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} = {\overline{PF'}} - 2 a = 30 - 2 a$ 이때, $\displaystyle 16 \leq \mathrm{\overline{PF}} \leq 20$이므로 $16 \leq 30 - 2 a \leq 20$ $5 \leq a \leq 7$$\cdots \text{㉠}$ 점 $\mathrm{A}$$( a , 0 )$이고 $\mathrm{F}$$( c , 0 )$이라면 $\displaystyle c = \sqrt{a ^{2} + b ^{2}}$, $\displaystyle b = \frac{4}{3} a$이므로 $\displaystyle c = \frac{5}{3} a$ 점 $F$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{5}{3} a , 0 \right)$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AF}} = \frac{\mathit{5}}{3} a - a = \frac{2}{3} a$ 조건 (나)에서 선분 $\mathrm{AF}$의 길이가 자연수이므로 $a$는 $3$의 배수이다 그런데 $5 \leq a \leq 7$이므로 $a = 6$ 따라서 구하는 쌍곡선의 주축의 길이는 $2 a = 12$