쌍곡선 접선과 넓이 비

[출제 의도] 쌍곡선 위의 점에서의 접선을 구하여 주축의 길이를 구할 수 있는가? 점 $\mathrm{P} \left( 4 , \mathit{k} \right)$는 쌍곡선 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}}$$= 1$ 위의 점이므로 $\displaystyle \frac{16}{a ^{2}} - \frac{k ^{2}}{b ^{2}}$$= 1$ $\cdots$ ㉠ 점 $\mathrm{P}$에서 쌍곡선에 그은 접선의 방정식은 $\displaystyle \frac{4 x}{a ^{2}} - \frac{ky}{b ^{2}}$$= 1$ 이므로 두 점 $\mathrm{Q}$와 $\mathrm{R}$의 좌표는 각각 $\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{\mathit{a} ^{2}}{4} , 0 \right)$, $\displaystyle \mathrm{R} \left( 0 , - \frac{\mathit{b} ^{2}}{\mathit{k}} \right)$ 따라서 삼각형 $\mathrm{QOR}$의 넓이는 $A _{1}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \frac{a ^{2}}{4} \times \left| - \frac{b ^{2}}{k} \right|$$\displaystyle = \frac{a ^{2} b ^{2}}{8 k}$ 삼각형 $\mathrm{PRS}$의 넓이는 $A _{2}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \mathrm{\times} \overline{PS} \times \overline{OS}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times k \times 4$$= 2 k$ 이므로 $A _{1} : A _{2}$$= 9 : 4$에서 $\displaystyle \frac{a ^{2} b ^{2}}{8 k} : 2 k$$= 9 : 4$ $36 k ^{2}$$= a ^{2} b ^{2}$ $\cdots$ ㉡ ㉡을 ㉠에 대입하여 정리하면 $\displaystyle \frac{16}{a ^{2}} - \frac{k ^{2}}{\frac{36 k ^{2}}{a ^{2}}}$$= 1$, 즉 $\displaystyle \frac{16}{a ^{2}} - \frac{a ^{2}}{36}$$= 1$ $a ^{4} + 36 a ^{2} - 16 \times 36$$= 0$ $( a ^{2} - 12 ) ( a ^{2} + 48 )$$= 0$ $a ^{2}$$= 12$에서 $a$$\displaystyle = 2 \sqrt{3}$이므로 주어진 쌍곡선의 주축의 길이는 $2 a$$\displaystyle = 4 \sqrt{3}$이다.