쌍곡선 접선 기울기

[출제의도] 평면곡선을 활용하여 문제해결하기 점근선의 방정식이 $\displaystyle y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$이므로 $a ^{2} = 3 b ^{2}$ 초점 $\mathrm{F}$의 $x$좌표가 $\displaystyle 4 \sqrt{3}$이므로 $\displaystyle a ^{2} + b ^{2} = 4 b ^{2} = \left( 4 \sqrt{3} \right) ^{2}$ $\therefore$$a ^{2} = 36$, $b ^{2} = 12$ 점 $\mathrm{P}$는 쌍곡선 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{36} - \frac{y ^{2}}{12} = 1$ 위의 점이므로 $\displaystyle \mathrm{P} \left( 4 \sqrt{3} , 2 \right)$ $\displaystyle \frac{x ^{2}}{36} - \frac{y ^{2}}{12} = 1$의 양변을 $x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle \frac{2 x}{36} - \frac{2 y}{12} \times \frac{dy}{dx} = 0$ $\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{x}{3 y}$($y \ne 0$) 따라서 점 $\mathrm{P}$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle \frac{2 \sqrt{3}}{3}$