쌍곡선 점근선과 넓이

[출제의도] 쌍곡선의 점근선의 성질을 이해하여 도형의 넓이를 구한다. $4 x ^{2} - 8 x - y ^{2} - 6 y - 9$$= 0$에서 $4 \left( x - 1 \right) ^{2} - \left( y + 3 \right) ^{2}$$= \mathit{4}$, $\displaystyle \left( x - 1 \right) ^{2} - \frac{\left( y + 3 \right) ^{2}}{4}$$= 1$ 쌍곡선 $\displaystyle \left( x - 1 \right) ^{2} - \frac{\left( y + 3 \right) ^{2}}{4}$$= 1$은 쌍곡선 $\displaystyle x ^{2} - \frac{y ^{2}}{4}$$= \mathit{1}$을 $x$축의 방향으로 $1$만큼, $y$축의 방향으로 $- 3$만큼 평행이동한 것이므로 이 쌍곡선의 점근선 중 기울기가 양수인 직선의 방정식은 $y - \left( - 3 \right)$$= 2 \left( x - 1 \right)$, $y$$= 2 x - 5$ 직선 $y$$= 2 x - 5$의 $x$절편, $y$절편이 각각 $\displaystyle \frac{5}{2}$, $- 5$이다. 따라서 직선 $y$$= 2 x - 5$와 $x$축, $y$축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{5}{2} \times 5$$\displaystyle = \frac{25}{4}$