기하이차곡선수능 기출기본 문제 (3점 중반)

쌍곡선 점근선과 주축

문제

쌍곡선 x25a2−y2a2+1=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{5 a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{a ^{2} + 1} = 1의 한 점근선의 방정식이 y=−12x\displaystyle y = - \frac{1}{2} x일 때, 이 쌍곡선의 주축의 길이는? (단, aa는 양수이다.) [3점] ①25\displaystyle 2 \sqrt{5}②45\displaystyle 4 \sqrt{5}③65\displaystyle 6 \sqrt{5}④85\displaystyle 8 \sqrt{5}⑤105\displaystyle 10 \sqrt{5}

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②

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해설

쌍곡선 x25a2−y2a2+1=1\displaystyle \frac{x ^{2}}{5 a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{a ^{2} + 1} = 1의 점근선 중 기울기가 음수인 점근선의 방정식은 y=−a2+15a2x\displaystyle y = - \sqrt{\frac{a ^{2} + 1}{5 a ^{2}}} x이므로 −a2+15a2=−12\displaystyle - \sqrt{\frac{a ^{2} + 1}{5 a ^{2}}} = - \frac{1}{2}, 4(a2+1)=5a24 \left( a ^{2} + 1 \right) = 5 a ^{2}, a=2(a>0)a = 2 \left( a > 0 \right) 따라서 쌍곡선의 주축의 길이는 2×5a2=45\displaystyle 2 \times \sqrt{5 a ^{2}} = 4 \sqrt{5}

태그

#쌍곡선#점근선

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