쌍곡선 점근선과 초점

쌍곡선의 점근선은 $\displaystyle y = \pm \frac{b}{a} x$이고, 한 점근선이 $y = x$이므로 $\displaystyle \frac{b}{a} = 1$, $a = b$ $\cdots \cdots$ ㉠ 즉, 쌍곡선의 방정식은 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{a ^{2}} = 1$이다. 초점의 좌표에서 $c ^{2} = a ^{2} + b ^{2} = 2 a ^{2}$ 이므로 $\displaystyle c = \sqrt{2} a$ $\cdots \cdots$㉡ 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$는 $\displaystyle x = \sqrt{2} a$와 쌍곡선의 교점이므로 $\displaystyle \frac{2 a ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{a ^{2}} = 1$, $\displaystyle \frac{y ^{2}}{a ^{2}} = 1$ $\therefore$ $\displaystyle \left. \mathrm{P} \left( \mathit{\sqrt{2}} a , a \right) \right.$, $\displaystyle \left. \mathrm{Q} \left( \mathit{\sqrt{2}} a , - a \right) \right.$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = \mathit{2} a = 8$에서 $a = 4$, $a ^{2} = 16$ ㉠에서 $b ^{2} = a ^{2} = 16$ ㉡에서 $\displaystyle c = 4 \sqrt{2}$이므로 $c ^{2} = 32$ $\therefore$ $a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} = 16 + 16 + 32 = 64$