기하이차곡선수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

쌍곡선 거리 최솟값 보기

문제

쌍곡선 x2−y2=1x ^{2} - y ^{2} = 1 위의 점 P\mathrm{P}와 xx축 위의 점 A(t,0){\mathrm{A}} ( t , 0 )이 있다. AP‾\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}의 최솟값을 f(t)f ( t )라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

< 보 기 >
ㄱ. f(0)=1f ( 0 ) = 1 ㄴ. 방정식 f(t)=13\displaystyle f ( t ) = \frac{1}{3}의 실근의 개수는 44이다. ㄷ. 함수 f(t)f ( t )가 미분가능하지 않은 tt의 값의 개수는 55이다.

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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③

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해설

[출제의도] 함수의 그래프의 개형을 추측하여 문제를 해결한다. 점 P\mathrm{P}의 좌표를 (x,y)( x , y )라 할 때 AP‾2\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} \mathit{\mathrm{^{2}}}=(x−t)2+y2=(x−t)2+x2−1= \mathit{\left( x - t \right)} ^{2} + y ^{2} = \left( x - t \right) ^{2} + x ^{2} - 1 =2x2−2tx+t2−1= 2 x ^{2} - 2 tx + t ^{2} - 1=2(x−t2)2+t22−1\displaystyle = 2 \left( x - \frac{t}{2} \right) ^{2} + \frac{t ^{2}}{2} - 1 x2=y2+1≥1x ^{2} = y ^{2} + 1 \geq 1이므로 ∣x∣≥1\left| x \right| \geq 1 ∣x∣≥1\left| x \right| \geq 1이므로 t2\displaystyle \frac{t}{2}의 값에 따라 AP‾2\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} \mathit{\mathrm{^{2}}}의 최솟값이 달라진다. 즉, 각 경우에 따라 f(t)f ( t )의 값을 구하면 f(t)={t22−1(∣t∣≥2)∣t+1∣(−2<t≤0)∣t−1∣(0<t<2)\displaystyle f \left( t \right) = {\begin{cases} \sqrt{\frac{t ^{2}}{2} - 1} & \left( \left| t \right| \geq 2 \right) \\ \left| t + 1 \right| & \left( - 2 < t \leq 0 \right) \\ \left| t - 1 \right| & \left( 0 < t < 2 \right) \end{cases}} 그러므로 s=f(t)s = f \left( t \right)의 그래프를 그리면 다음과 같다.

ㄱ. f(t)f ( t )에서 t=0t = 0을 대입하면 f(0)=1f ( 0 ) = 1(참) ㄴ. 직선 s=13\displaystyle s = \frac{1}{3}과 곡선 s=f(t)s = f ( t )의 교점의 개수는 44이다. (참) ㄷ. lim⁡t→−2−f(t)−f(−2)t−(−2)\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow - 2 -} {\frac{f \left( t \right) - f \left( - 2 \right)}{t - \left( - 2 \right)}} =lim⁡t→−2−t22−1−1t+2\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow - 2 -} {\frac{\sqrt{\frac{t ^{2}}{2} - 1} - 1}{t + 2}} =lim⁡t→−2−t2−4(t+2)2(t2−2+2)\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow - 2 -} {\frac{t ^{2} - 4}{\left( t + 2 \right) \sqrt{2} \left( \sqrt{t ^{2} - 2} + \sqrt{2} \right)}} =lim⁡t→−2−t−22(t2−2+2)\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow - 2 -} {\frac{t - 2}{\sqrt{2} \left( \sqrt{t ^{2} - 2} + \sqrt{2} \right)}} =−1= \mathit{-} 1 lim⁡t→−2+f(t)−f(−2)t−(−2)\displaystyle \lim\limits _{t \rightarrow - 2 +} {\frac{f \left( t \right) - f \left( - 2 \right)}{t - \left( - 2 \right)}} =lim⁡t→−2+∣t+1∣−1t+2\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow - 2 +} {\frac{\left| t + 1 \right| - 1}{t + 2}} =lim⁡t→−2+−(t+1)−1(t+2)\displaystyle = \lim\limits _{t \rightarrow - 2 +} {\frac{- \left( t + 1 \right) - 1}{\left( t + 2 \right)}} =−1= \mathit{-} 1 따라서 함수 f(t)f \left( t \right)는 t=−2t = \mathit{-} 2에서 미분가능하다. 같은 방법을 이용하면 함수 f(t)f \left( t \right)는 t=2t = 2에서도 미분가능하다는 사실을 알 수 있다. 그러므로 함수 f(t)f \left( t \right)가 미분가능하지 않은 tt의 값은 −1- 1, 00, 11이므로 그 개수는 33이다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

태그

#쌍곡선#보기#미분가능성

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