쌍곡선 초점 사이 거리

[출제의도] 쌍곡선의 주축의 길이와 점근선을 이용하여 두 초점 사이의 거리를 구할 수 있는가? 쌍곡선 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$의 주축의 길이가 $6$이므로 $2 a = 6$ $a = 3$ $\cdots \cdots$ ㉠ 쌍곡선 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$의 점근선은 $y$$\displaystyle = \frac{b}{a} x$, $y$$\displaystyle = - \frac{b}{a} x$ 이때, $a > 0$, $b > 0$이므로 $\displaystyle \frac{b}{a} = 2$ $b$$= 2 a$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉠을 ㉡에 대입하면 $b$$= 2 \times 3$$= 6$ 쌍곡선 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$의 두 초점을 $\mathrm{F} \left( \mathit{c} , 0 \right)$, $\mathrm{F}' \left( \mathit{-} c , 0 \right)$ ($c > 0$) 이라 하면 $c ^{2}$$= a ^{2} + b ^{2}$$= 3 ^{2} + 6 ^{2}$$= 45$ $c$$\displaystyle = \sqrt{45}$$\displaystyle = 3 \sqrt{5}$ 따라서 두 초점 사이의 거리는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{FF}'}}$$= 2 c$$\displaystyle = 6 \sqrt{5}$