쌍곡선 초점 거리

[출제의도] 쌍곡선의 정의를 이해하고 선분의 길이를 구한다.

쌍곡선의 방정식을 $\displaystyle \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$($a > 0$, $b > 0$)이라 하면 점근선의 방정식이 $y = 2 x$, $y = - 2 x$이므로 $\displaystyle \frac{b}{a} = 2$, $b = 2 a$ 쌍곡선의 또 다른 초점을 점 $\mathrm{F}'$이라 하면 삼각형 $\mathrm{P} F' F$에서 점 $\mathrm{O}$는 변 $\mathrm{F}' F$의 중점이고 점 $\mathrm{M}$은 변 $\mathrm{PF}$의 중점이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PF'}} = 2 \overline{OM} = 12$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PF}} = 2 \overline{MF} = 6$ $\displaystyle \mathrm{\left| \overline{PF'} - \overline{PF} \right|} = 12 - 6 = 6 = \mathit{2} a$ ∴ $a = 3 , b = 2 a = 6$ ∴ $\displaystyle \overline{\mathrm{OF}} = \sqrt{a ^{2} + b ^{2}} = \sqrt{9 + 36} = 3 \sqrt{5}$