소수 제곱 빼기 1의 배수 증명

[출제의도] 소수의 성질을 이용하여 정수의 약수와 배수의 성질 증명하기 $p$는 $5$이상의 소수이므로 $p$는 $2$의 배수가 아니고 $3$의 배수도 아니다. (i) $p$가 $2$의 배수가 아니므로 $p = 2 a + 1$인 $2$이상의 어떤 정수 $a$가 존재한다. 따라서 $\begin{aligned} p ^{2} - 1 & = ( p + 1 ) ( p - 1 ) \\ & = \left( 2 a + 2 \right) \left( 2 a \right) = 4 a \left( a + 1 \right) \end{aligned}$ 에서 $a ( a + 1 )$은 연속하는 두 자연수의 곱이므로 $2$의 배수이다. 따라서 $p ^{2} - 1$은 항상 $\square {8}$의 배수이다. (ii) $p$가 $3$의 배수가 아니므로 $p = 3 b + 1$ 또는 $p = \square {3 b - 1}$인 $2$이상의 어떤 정수 $b$가 존재한다. 따라서 $p ^{2} - 1 = ( p + 1 ) ( p - 1 )$에서 $p ^{2} - 1 = \left( 3 b + 2 \right) \left( 3 b \right)$ 또는 $p ^{2} - 1 = 3 b \left( 3 b - 2 \right)$이므로 $p ^{2} - 1$은 항상 $\square {3}$의 배수이다. (i), (ii)에 의해서 $p ^{2} - 1$은 $24$의 배수이다.