소금물 농도의 점화식과 부등식

$a _{0} = 3$이라 하자. 농도가 $a _{n}$ %인 소금물 $300 \mathrm{g}$에서 $100 \mathrm{g}$을 퍼내면 남는 소금의 양은 $\displaystyle 200 \times \frac{a _{n}}{100} = 2 a _{n} \mathrm{g}$ 여기에 $12$ %의 소금물 $100 \mathrm{g}$, 즉 소금 $12 \mathrm{g}$을 넣으면 소금물 $300 \mathrm{g}$에 소금이 $( 2 a _{n} + 12 ) \mathrm{g}$ 들어 있으므로 $\displaystyle a _{n + 1} = \frac{2 a _{n} + 12}{300} \times 100 = \frac{2}{3} a _{n} + 4$ 이 식을 변형하면 $\displaystyle a _{n + 1} - 12 = \frac{2}{3} ( a _{n} - 12 )$ 수열 $\left\{ a _{n} - 12 \right\}$은 첫째항이 $a _{0} - 12 = - 9$, 공비가 $\displaystyle \frac{2}{3}$인 등비수열이므로 $\displaystyle a _{n} = 12 - 9 \left( \frac{2}{3} \right) ^{n}$ $a _{n} \geq 11$에서 $\displaystyle 9 \left( \frac{2}{3} \right) ^{n} \leq 1$, 즉 $\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right) ^{n} \leq \frac{1}{9}$ $n = 5$이면 $\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right) ^{5} = \frac{32}{243} > \frac{27}{243} = \frac{1}{9}$ $n = 6$이면 $\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right) ^{6} = \frac{64}{729} < \frac{81}{729} = \frac{1}{9}$ $a _{n}$은 $n$이 커질수록 커지므로, 처음으로 $a _{n} \geq 11$이 되는 $n$의 값은 $6$