대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

시력검사표 문자 크기

문제

다음은 어느 시력검사표에 표시된 시력과 그에 해당되는 문자의 크기를 나타낸 것의 일부이다.

시력0.10.10.20.20.30.30.40.4…1.01.0
문자의 크기a1a _{1}a2a _{2}a3a _{3}a4a _{4}…a10a _{10}

문자의 크기 ana _{n}은 다음 관계식을 만족시킨다. a1=10Aa _{1} = 10 A, an+1=10A⋅an10A+an\displaystyle a _{n+1} = \frac{10 A \cdot a _{n}}{10 A + a _{n}} (단, AA는 상수이고 n=1,2,3,⋯ ,9n = 1 , 2 , 3 , \cdots , 9이다.) 이 시력검사표에서 시력 0.80.8에 해당되는 문자의 크기는? [4점] ①2A2 A②32A\displaystyle \frac{3}{2} A③43A\displaystyle \frac{4}{3} A④54A\displaystyle \frac{5}{4} A⑤65A\displaystyle \frac{6}{5} A

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④

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해설

an+1=10A⋅an10A+an\displaystyle a _{n+1} = \frac{10 A \cdot a _{n}}{10 A + a _{n}}의 양변의 역수를 취하면 1an+1=1an+110A\displaystyle \frac{1}{a _{n+1}} = \frac{1}{a _{n}} + \frac{1}{10 A} 따라서 수열 {1an+1}\displaystyle \left\{ \frac{1}{a _{n+1}} \right\}은 첫째항이 1a1=110A\displaystyle \frac{1}{a _{1}} = \frac{1}{10 A}, 공차가 110A\displaystyle \frac{1}{10 A}인 등차수열이다. ∴ 1a8=110A×8=45A\displaystyle \frac{1}{a _{8}} = \frac{1}{10 A} \times 8 = \frac{4}{5 A} 따라서 시력 0.80.8에 해당되는 문자의 크기는 a8=54A\displaystyle a _{8} = \frac{5}{4} A

태그

#점화식#등차수열#활용

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