미적분Ⅱ여러 가지 적분법AI기본 문제 (3점 중반)

sin x/cos²x의 부정적분

문제

함수 f(x)f ( x )의 도함수가 f′(x)=sin⁡xcos⁡2x\displaystyle f' ( x ) = \frac{\sin x}{\cos ^{2} x}이고 f(0)=2f ( 0 ) = 2일 때, f(π3)\displaystyle f \left( \frac{\pi}{3} \right)의 값을 구하시오. [3점]

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해설

sin⁡xcos⁡2x=1cos⁡x⋅sin⁡xcos⁡x=sec⁡xtan⁡x\displaystyle \frac{\sin x}{\cos ^{2} x} = \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \sec x \tan x이므로 f(x)=∫sec⁡xtan⁡xdx=sec⁡x+C\displaystyle f ( x ) = \int \sec x \tan x dx = \sec x + C (CC는 적분상수) f(0)=1+C=2f ( 0 ) = 1 + C = 2에서 C=1C = 1 f(x)=sec⁡x+1f ( x ) = \sec x + 1 따라서 f(π3)=1cos⁡π3+1=2+1=3\displaystyle f \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{\cos \frac{\pi}{3}} + 1 = 2 + 1 = 3

태그

#삼각함수의 적분#부정적분#시컨트

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