대수삼각함수AI심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

sin θ와 tan θ를 두 근으로 하는 방정식

문제

π2<θ<π\displaystyle \frac{\pi}{2} < \theta < \pi인 θ\theta에 대하여 이차방정식 25x2−5x+k=025 x ^{2} - 5 x + k = 0의 두 근이 sin⁡θ,cos⁡θ\sin \theta , \cos \theta이다. sin⁡θ,tan⁡θ\sin \theta , \tan \theta를 두 근으로 하는 이차방정식이 15x2+px+q=015 x ^{2} + px + q = 0일 때, p+qp + q의 값은? (단, k,p,qk , p , q는 상수이다.) [4점] ①−24- 24②−16- 16③−8- 8④88⑤2424

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③

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해설

근과 계수의 관계에서 sin⁡θ+cos⁡θ=15\displaystyle \sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{5}, sin⁡θcos⁡θ=k25\displaystyle \sin \theta \cos \theta = \frac{k}{25} sin⁡θ+cos⁡θ=15\displaystyle \sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{5}의 양변을 제곱하면 1+2sin⁡θcos⁡θ=125\displaystyle 1 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{25}, sin⁡θcos⁡θ=−1225\displaystyle \sin \theta \cos \theta = - \frac{12}{25} k=−12k = - 12이므로 25x2−5x−12=025 x ^{2} - 5 x - 12 = 0, (5x−4)(5x+3)=0( 5 x - 4 ) ( 5 x + 3 ) = 0 x=45\displaystyle x = \frac{4}{5} 또는 x=−35\displaystyle x = - \frac{3}{5} π2<θ<π\displaystyle \frac{\pi}{2} < \theta < \pi에서 sin⁡θ>0,cos⁡θ<0\sin \theta > 0 , \cos \theta < 0이므로 sin⁡θ=45,cos⁡θ=−35\displaystyle \sin \theta = \frac{4}{5} , \cos \theta = - \frac{3}{5}, tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=−43\displaystyle \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = - \frac{4}{3} sin⁡θ+tan⁡θ=45−43=−815\displaystyle \sin \theta + \tan \theta = \frac{4}{5} - \frac{4}{3} = - \frac{8}{15}, sin⁡θtan⁡θ=45×(−43)=−1615\displaystyle \sin \theta \tan \theta = \frac{4}{5} \times \left( - \frac{4}{3} \right) = - \frac{16}{15} 따라서 sin⁡θ,tan⁡θ\sin \theta , \tan \theta를 두 근으로 하는 이차방정식은 x2+815x−1615=0\displaystyle x ^{2} + \frac{8}{15} x - \frac{16}{15} = 0, 즉 15x2+8x−16=015 x ^{2} + 8 x - 16 = 0 p=8,q=−16p = 8 , q = - 16이므로 p+q=−8p + q = - 8이다. ③

태그

#근과 계수의 관계#삼각함수#부호#이차방정식 작성

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