sin kx 방정식 해의 합

[출제의도] 삼각함수의 뜻과 그래프 이해하기 함수 $y$$= \sin kx$의 주기는 $\displaystyle \frac{2 \pi}{k}$ $0 \leq x < 2 \pi$일 때, 방정식 $\sin kx$$\displaystyle = \frac{1}{3}$의 서로 다른 실근의 개수는 $0 \leq x < 2 \pi$에서 곡선 $y$$= \sin kx$와 직선 $y$$\displaystyle = \frac{1}{3}$이 만나는 점의 개수와 같다. $1 \leq l \leq k$인 자연수 $l$에 대하여 $\displaystyle \frac{2 \left( l - 1 \right)}{k} \pi \leq x < \frac{2 l}{k} \pi$에서 곡선 $y$$= \sin kx$와 직선 $y$$\displaystyle = \frac{1}{3}$이 만나는 점의 개수는 $2$이고 $0 \leq x < 2 \pi$에서 곡선 $y$$= \sin kx$와 직선 $y$$\displaystyle = \frac{1}{3}$이 만나는 점의 개수가 $8$이므로 $2 k$$= 8$에서 $k$$= 4$ $0 \leq x < 2 \pi$일 때, 방정식 $\sin 4 x$$\displaystyle = \frac{1}{3}$의 서로 다른 실근을 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 $\alpha _{1} , \alpha _{2} , \alpha _{3} , \cdots , \alpha _{8}$이라 하자. 함수 $y$$= \sin 4 x$의 주기는 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$이므로 $\alpha _{2}$$\displaystyle = \frac{\mathit{\pi}}{4} - \alpha _{1}$, $\alpha _{3}$$\displaystyle = \frac{\pi}{2} + \alpha _{1}$, $\alpha _{4}$$\displaystyle = \frac{3}{4} \pi - \alpha _{1}$, $\alpha _{5}$$= \pi + \alpha _{1}$, $\alpha _{6}$$\displaystyle = \frac{5}{4} \pi - \alpha _{1}$, $\alpha _{7}$$\displaystyle = \frac{3}{2} \pi + \alpha _{1}$, $\alpha _{8}$$\displaystyle = \frac{7}{4} \pi - \alpha _{1}$ 따라서 구하는 모든 해의 합은 $7 \pi$ [참고]