실근과 허근 조건

[출제의도] 이차방정식의 판별식을 활용하여 수학내적문제 해결하기 이차방정식 $\displaystyle x ^{2} + 2 \sqrt{2} x - m ( m + 1 ) = 0$이 실근을 가지므로 판별식 $D$가 $D \geq 0$이어야 한다. $\displaystyle \frac{D}{4} = 2 + m ( m + 1 ) = m ^{2} + m + 2$ $\displaystyle = ( m + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{7}{4} > 0$ $\therefore$ 모든 실수 $m$에 대하여 실근을 갖는다. $\cdots$① 이차방정식 $x ^{2} - ( m - 2 ) x + 4 = 0$은 허근을 가지므로 판별식 $D$가 $D < 0$이어야 한다. $D = ( m - 2 ) ^{2} - 16 < 0$ $m ^{2} - 4 m - 12 < 0$ $( m + 2 ) ( m - 6 ) < 0$ $\therefore$ $- 2 < m < 6$ $\cdots$ ② $\therefore$ ①, ②를 동시에 만족시키는 실수 $m$의 값의 범위는 $- 2 < m < 6$